Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty }\sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos\frac{k\pi }{n}=a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-12-2012 - 11:27

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-12-2012 - 11:31

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 vanchanh123

vanchanh123

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 14-01-2017 - 20:55

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

 
Với mỗi $N\in \mathbb{N}$, đặt $A_N= \sum_{n=1}^N a_n$ và $b_k =\cos \frac{{k\pi }}{N} \forall k=0, 1, ..., N$, và $S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n.$
 
Khi đó dùng tổng Abel, ta có
$S_N= b_NA_N- \sum_{n=0}^{N-1} A_n(b_{n+1}-b_n)$
      $= b_NA_N- \sum_{n=0}^{N-1} (A_n-a)(b_{n+1}-b_n)-a\sum_{n=0}^{N-1}(b_{n+1}-b_n).$
 
 
Nhận xét: Dùng định lý Lagrange
$$\left|b_{n+1}-b_n\right| =\frac{\pi}{N} |\sin \left( \zeta/N\right)| \le \frac{(n+1)\pi}{N^2}\le \frac{\pi}{N}.$$
Do đó
$$ \left|S_N+ A_N-2a\right| \le \sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a||(b_{n+1}-b_n)| \le \frac{\pi}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a|.$$
 
Vì $\lim_{m\to\infty} |A_m -a|=0$ nên theo định lý Cesaro $\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a|=0.$
 
Suy ra $\lim\limits_{N\to \infty} S_N=a.$

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh