Chủ đề này có 10 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 04/01/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 16 có 29 toán thủ tham gia nên theo luật, sau trận này có 02 toán thủ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

[E. Galois]

Đề của Joker999 trùng đề GMS 2012. BTC chọn đề khác. Thời gian thi đấu tính từ 22h30 ngày 04/01

Đề của namheo1996

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$$f[xf(x)+f(y)]=f^{2}(x)+y$ (1) với mọi $x,y\in \mathbb{R}$$.

[gogo123]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thoã mãn:
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$ (1)
Giải
Ta có:
Thế $x=0$ vào (1) $\Rightarrow f(f(y))=y+f^{2}(0)$ (2)
Tập giá trị VT(2) là $R$ nên $f$ toàn ánh
Nếu $f(a)=f(b)$ thì $f(f(a))=f(f(b)) \Rightarrow a=b$ nên $f$ đơn ánh
Vậy $f$ là song ánh.
Do $f$ toàn ánh nên tồn tại $a \in R$ sao cho $f(a)=0$
Thế $x=y=a$ vào (1) ta được: $f(0)=a$
Thay $y=a$ vào (2) ta được $f(f(a))=a+f^{2}(0) \Rightarrow f(0)=a+f^{2}(0)$ mà $a=f(0)$ nên $f^{2}(0)=0\Rightarrow f(0)=0$.
Suy ra: $f(f(x))=x$ vói mọi số thực $x$
Thế $y=0$ vào (1) suy ra $f(xf(x))=f^{2}(x)$ (3)
Thay $x$ bởi $f(y)$ vào (3) ta có:$f(f(y)f(f(y)))=(f(f(y)))^{2}\Rightarrow f(yf(y))=y^{2}$
Kết hợp với (3) suy ra: $f^{2}(x)=x^{2}$
TH1: $f(x)=x$.
Thử vào (1) dễ thấy nghiệm hàm này thoã mãn.
TH2: $f(x)=-x$.
Thử vào (1) dễ thấy hàm này cũng thoã mãn.

Nếu vừa tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=-a$;$f(b)=b$ thì thế $x=a;y=b$ vào (1) ta được $f(-a^{2}+b)=a^{2}+b$, điều này không thể xảy ra ở cả 2 TH (đó là $f(-a^{2}+b)=-a^{2}+b$ và TH $f(-a^{2}+b)=-(-a^{2}+b)$ )
Vậy không đồng thời xảy ra 2 nghiệm hay ta kết luận:

Nghiệm của PT trên là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
____________________________________
Chỗ bôi đỏ là không cần thiết vì $f$ đơn ánh
Điểm bài làm : $d=10$

S = 25 + 3x10 = 55

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 11-01-2013 - 21:52
Chấm điểm!

[namseohihi]

Xét đa thức $f(x)$:
Giả sử $f(x)$ có bậc k thì $f[xf(x)+f(y)]$ có bậc $(k+1)^{k}$, trong khi đó, $f^{2}(x)+y$ có bậc $2k$
Xét phương trình $(k+1)^{k}=2k$: (1)
$k=0$ không là nghiệm của phương trình
$k=1$ là nghiệm của phương trình
Với $k\geq 2$, ta có: $(k+1)^{2}\geq 4k> 2k$ nên phương trình (1) không có nghiệm $k\geq 2$
Vậy, $f(x)$ có dạng: ax+b $(a\neq 0)$
Ta có:
$f[xf(x)+f(y)]=f^{2}(x)+y$
$\Leftrightarrow f(ax^{2}+b+y)=(ax+b)^{2}+y$
$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+ab+ay+b=a^{2}x^{2}+b^{2}+2abx+y$
$\Leftrightarrow 2abx=(a-1)y+(b^{2}-ab-b)$
Vì $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ nên $\left\{\begin{matrix} ab=0\\a=1 \\ b^{2}-ab-b=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=0 \end{matrix}\right.$
Vậy, $f(x)=x$ là hàm cần tìm
_____________________________
Giả thiết có bắt buộc $f$ là hàm đa thức???
Điểm bài làm: $d=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 10-01-2013 - 09:27
Chấm điểm!

[luuxuan9x]

Đề của Joker999 trùng đề GMS 2012. BTC chọn đề khác. Thời gian thi đấu tính từ 22h30 ngày 04/01

Đề của namheo1996

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$f[xf(x)+f(y)]=f^{2}(x)+y$ (1) với mọi $x,y\in \mathbb{R}$$.

Bài giải của toán thủ luuxuan9x:

Thay $x=0$ ta có:(1) thành $f[f(y)]=y+f^2(0)$ (2)

Thay $y=-f^2(0)$ :(2)=>$f[f(-f^2(0))]=0$

Đặt $a=f[-f^2(0)]$,ta có $f(a)=0$.

Thay vào (1) $x=a$ ta có:$f(f(y))=y$

Thay $x=f(x)$

(1)=>$f[f(x).f(f(x))+f(y)]=f^2(f(x))+y$

=>$f[xf(x)+f(y)]=x^2+y$ (vì $f[f(x)]=x$) (3)

Từ (1) và (3) suy ra $f^2(x)=x^2$

<=>$\begin{bmatrix}
f(x)=x\\
f(x)=-x
\end{bmatrix}$

Thử lại thấy $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ đều thoả.

Vậy có hai hàm thoả đề là $f(x)=x$ và $f(x)=-x$
________________________________
Cần chứng minh $f$ là song ánh (Một điều quan trọng trong những lập luận phía sau)
Điểm bài làm: $d=8$

S = 6 + 8x3 = 30

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 11-01-2013 - 21:54
Chấm điểm!

[davildark]

Lời giải

Nếu $f(y_{1})=f(y_{2}) \\ \Rightarrow (f(x))^2+y_{1}=(f(x))^2+y_{2} \\ \Rightarrow y_{1}=y_{2}$
Nên f là 1 đơn ánh
VP của (1) là 1 hàm bậc nhất theo y nên nhận tập trị trên $\mathbb{R}$ nên f nhận giá trị trên $\mathbb{R}$ nên f là 1 toàn ánh
Vậy f là song ánh
$\Rightarrow \exists \ a $ để $f(a)=0$
Trong (1) thay $x=y=a$ ta có $ f(0)=a$
Trong(1) thay $x=0$ thì $f(f(y))=(f(0))^2+y$ (2)
Trong (2) thay $y=a$ thì $ a = a^2 +a \Rightarrow a=0$
Vậy $f(0)=0$
Trong (1) thay y=0 ta có $f(xf(x))=(f(x))^2 $ (3)
Lại từ (2) ta thay y=0 thì $f(f(x))=x$
Trong (3) thay $x=f(x)$ ta có $ f(xf(x))=x^2$ (4)
Từ (3) và (4) $\Rightarrow (f(x))^2=x^2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)=x \\
f(x)=-x
\end{matrix}\right.$
Thử lại $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ thỏa đề bài
Vậy $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ là 2 hàm số cần tìm
___________________________________
Điểm bài làm: $d=10$

S = 3 + 10*3 = 33

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 11-01-2013 - 21:55
Chấm điểm!

[Math Is Love]

Đề của Joker999 trùng đề GMS 2012. BTC chọn đề khác. Thời gian thi đấu tính từ 22h30 ngày 04/01

Đề của namheo1996

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$$f[xf(x)+f(y)]=f^{2}(x)+y$ (1) với mọi $x,y\in \mathbb{R}$$.

Giải như sau:
Đầu tiên,cho $x=0$,ta có:
$$f(f(y))=f^2(0)+y$$ $(1)$
Đặc biệt,với $t=-f(0)$ thì từ PT đã cho,ta có:
$$f(t)=0$$ (Không hiểu???)
Như vậy:
$$f(f(y))=f(tf(t)+f(y))=f^2(t)+y=y$$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$,ta có:
$f(0)=0$ và $f(f(y))=y$ với mọi $y\in \mathbb{R}$
Ta lại tiếp tục chọn $y=0$,vì $f(0)=0$ nên ta có:
$$f(xf(x)) = f^2(x)$$
Mà $f(f(x))=x$ nên ta có:
$$f^2(x)=f(xf(x))=f(f(x)f(f(x)))= f^2(f(x)) = x^2$$
$\Rightarrow f(x)=\pm x$
Nếu như $f(x)=x$ và $f(y)=-y$ hoặc $f(x)=-x$ và $f(y)=y$thì thay vào phương trình đã cho,ta có:
$$\pm (x^2-y)=x^2+y\Rightarrow x=y=0$$
Thử lại với $f(x)=x; f(y)=y$ hoặc $f(x)=-x; f(y)=-y$,ta thấy thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
_____________________________
Nếu bạn không giải thích được phần tô đỏ trong bài làm thì mọi lập luận phía sau sẽ trở thành vô căn cứ
Và điểm bài làm: $d=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 10-01-2013 - 09:39
Chấm điểm!

[hxthanh]

Trận đấu đã kết thúc! Các toán thủ có thể nhận xét bài làm của nhau.

[gogo123]

Bài namheohihi giải sai từ bước đầu vì đây không phải là phương trình hàm đa thức.
Các bài còn lại hầu như đều thiếu đoạn kiểm tra xem 2 nghiệm có thoã mãn cùng lúc không.

[namseohihi]

Đây là lần đầu mình tham gia MO và mình chưa được học gì về phương trình hàm, lại chẳng để ý đến đề thì tuần này là phương trình hàm, nên làm theo thông thường thôi

[E. Galois]

Điểm ra đề":
4x1+3*23+30 = 103