Đề của duaconcuachua98
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}-y^{3}=7$
Bài làm :
----Chứng minh bổ đề phụ:
---------Bổ đề phụ 1 :Định lý fermat :cho $p \in P$ ,(a,p)=1 khi đó $a^{p-1} \equiv 1 mod p$
Chứng minh :Xét các số $a,2a ,... ,(p-1).a$ . Dễ thấy không có sô nào trong p-1 só trên $\vdots p$ và không có số nào có cùng số dư khi chia cho $p$.Vậy khi chia p-1 số nói trên cho p ta nhận dc các số dư là :$1,2,...,p-1.$
$\Rightarrow a(2a)(3a)...(p-1)a \equiv 1.2.3.4...(p-1) mod p$
$\Rightarrow (1.2.3.....(p-1)).a^{p-1} \equiv 1.2.3. ...(p-1) mod p$
$\Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 mod p$ ( do $1.2.3. ... p-1$ không chia hết cho p)
Vậy bổ đề được chứng minh.
---------Bổ đề phụ 2 :Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p=4k+3 (k \in N)$ . Các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x^2 +y^2 \vdots p$ thì $x$ và $y$ đều chia hết cho $p$
Chứng minh :
Nếu cho 1 trong 2 số $x ,y \vdots p$ thì từ điều kiện $\Rightarrow x^2 +y^2 \vdots p$ .$\Rightarrow$ cả 2 số đều chia hết cho p.
Bây giờ ta giả sử cả $x$ và $y$ đều không chia hết cho $p$ . Ta có $p =4k+3$ với $k \in Z$ .Theo bổ đề 1 thì $x^{p-1} \equiv y^{p-1} \equiv 1 mod p$
$\Rightarrow x^{4k+2} \equiv y^{4k+2} \equiv 1 mod p$
$\Rightarrow x^{4k+2} + y^{4k+2} \equiv 2 mod p (1)$
Mặt khác :$x^{4k+2} + y^{4k+2} =(x^2)^{2k+1}+(y^2)^{2k+1} \vdots x^2 +y^2 \vdots p (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$$ \Rightarrow 2 \vdots p$ hay $p =2$ trái với giả thiết $p =4k+3$
$\Rightarrow x$ và $y$ đều chia hết cho $p$
----------
Quay trở lại bài toán
$x^2 -y^3 =7$
$\Leftrightarrow x^2 +1 =(y+2)(y^2 -2y+4) (1)$
Nếu $y$ chẵn thì $x^2 = y^3 +7 \equiv 7 mod 8$ (loại)
(Thử từng trường hợp số dư là 1 ,2,3,4,5,6,7,8 )
Nếu $y$ lẻ thì $y^2 -2y +4 =(y-1)^2 +3$ có dạng $4k+3$ nên $y^2 -2y +4$ có ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$
Từ $(1) \Rightarrow x^2 +1 \vdots p$ Đến đây áp dụng bổ đề
$\Rightarrow 1 \vdots p \Rightarrow Loại$
----Điểm bài làm: $$S=\left [ \dfrac{52-20}{2} \right ]+3.10+10+0=56$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 06-02-2013 - 12:21