Chủ đề này có 5 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h00, Thứ Bảy, ngày 19/01/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

2) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

[E. Galois]

Cho $x\in \mathbb{R}$. Xét dãy số xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}
a_{(i,0)}=\frac{x}{2^{i}}\\
a_{(i,j+1)}=a_{(i,j)}^2+2a_{(i,j)}
\end{matrix}\right.$$

$(i,j=0,1,2,...,n,..)$

Tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_{(n,n)}$.

Đề của
luuxuan9x

[namcpnh]

Cho $x\in \mathbb{R}$. Xét dãy số xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}
a_{(i,0)}=\frac{x}{2^{i}}\\
a_{(i,j+1)}=a_{(i,j)}^2+2a_{(i,j)}
\end{matrix}\right.$$

$(i,j=0,1,2,...,n,..)$

Tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_{(n,n)}$.

Đề của
luuxuan9x

Bài giải (làm rồi sướng nghê ):
Ta có:$a_{n,0}(x)=\frac{x}{2^n}$ bậc 1
$a_{n,1}(x)=a_{n,0}(x)[a_{n,0}(x)+2]$ bậc 2
....
$a_{n,n}(x)=a_{n,n-1}(x)[a_{n,n-1}(x)+2]$. bậc $2^n$.
Khi đó đặt $a_{n,n}(x)=p_n(x)\forall n\geq 0 \Rightarrow p_n(x)$ là đa thức theo $x$ có bậc $2^n$.
Ta có nhận xét $a_{n+1,0}(x)=\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\frac{x}{2}}{2^n}=a_{n,0}(\frac{x}{2})$
$a_{n + 1,1} (x) = a_{n,1} (\frac{x}{2})$
.....
$a_{n+1,n}(x)=a_{n,n}(\frac{x}{2})$
$\Rightarrow a_{n+1,n+1}(x)=a_{n,n}(\frac{x}{2})[a_{n,n}(\frac{x}{2})+2]$.
Khi đó ta có $p_{n+1}(x)=[p_n(\frac{x}{2})]^2+2p_n(\frac{x}{2})$
$\Leftrightarrow p_{n+1}(x)+1=[p_n(\frac{x}{2})+1]^2$
$\Leftrightarrow 1+p_n(x)=[(1+\frac{x}{2^n})]^{2^n}$
Từ đây ta tính được
$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n,n}(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty }p_n(x)=e^x-1$

$t_{lb}-t_{rd}=2h$
$d=10$
$d_{mr}=0$
$S=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 22-01-2013 - 22:34

[gogo123]

Ta có:
$a_{(n,n)}+1=a_{(n,n-1)}^{2}+2a_{(n,n)}+1=(a_{(n,n-1)}+1)^2=...=(a_{(n,0)}+1)^{2^n}=\left ( \frac{x}{2^n} +1\right )^{2^n}$ (1)
Với $x$ là hằng số thực cho trước ta có: $\lim\left ( \frac{x}{2^n} \right )=0$
Do đó, dù $x$ bằng bao nhiêu thì luôn tồn tại $N_0$ sao với mọi $n>N_0$ thì $ \frac{x}{2^n}+1 >0$
Vì vậy,để tính giới hạn dãy ta coi dãy bắt đầu từ $N_0+1$ ta có quyền lấy loganepe 2 vế của (1), được:
$$\frac{\ln\left (a_{n,n}+1 \right )}{x}=\frac{\ln\left ( \frac{x}{2^n}+1 \right )}{\frac{x}{2^n}}$$
Sử dụng giới hạn $\lim \frac{\ln (x+1)}{x}=1$ khi $x\rightarrow 0$ (đây là một giới hạn quen thuộc, dạng tương đương với nó là $\lim(1+x)^{\frac{1}{x}}$ khi $x\rightarrow 0$, nếu cần có chứng minh trang 170,tài liệu chuyên giải tích 11,NXB GD) ,ta có:
$\lim \frac{\ln\left (a_{n,n}+1 \right )}{x}=\lim \frac{\ln\left ( \frac{x}{2^n}+1 \right )}{\frac{x}{2^n}}=1$
Suy ra: $\lim a_{(n,n)}=e^x-1$.

$t_{lb}-t_{rd}=2.4h$
$d=10$
$d_{mr}=0$
$S=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 22-01-2013 - 22:35

[TRONG TAI]

Đáp án chính thức:
Đặt $a_{n,n}(x)=p_n(x)\,\,\forall n\geq 0$, ta có $p_n(x)$ là đa thức theo $x$ có bậc $2^n$.
Mặt khác
$a_{n+1,0}(x)=\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\frac{x}{2}}{2^n}=a_{n,0}(\frac{x}{2})$
$a_{n+1,1}(x)=a_{n+1,0}(x)(a_{n+1,0}(x)+2)=a_{n,1}(\frac{x}{2})$
.....
$a_{n+1,n}(x)=a_{n,n}(\frac{x}{2})$; $a_{n+1,n+1}(x)=a_{n,n}(\frac{x}{2})[a_{n,n}(\frac{x}{2})+2]$
Vậy $p_{n+1}(x)=[p_n(\frac{x}{2})]^2+2p_n(\frac{x}{2})$
$\Leftrightarrow p_{n+1}(x)+1=[p_n(\frac{x}{2})+1]^2$
Đặt $q_n=1+p_n(x)$, khi đó $q_n(x)=[q_0(\frac{x}{2^n})]^{2^n}$
Hay $1+p_n(x)=[(1+\frac{x}{2^n})]^{2^n}$
Suy ra $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n,n}(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty }p_n(x)=e^{x}-1v$
Vậy $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n,n}(x)=e^{x}-1$

[TRONG TAI]

Điểm cho luuxuan9x
$t_{lb1}-t_{rd}=2h$
$n_{klb}=24$
$D_{rd}=110$