Chủ đề này có 5 trả lời

[tieuthumeo99]

Tìm nghiệm nguyên dương của pt
$x^3y+xy^3-3x-3y=17$

[Zaraki]

Hướng dẫn. Đặt $x+y=a,xy=b$ rồi xét delta.

[tieuthumeo99]

Được $ba^2-2b^2-3a-17=0$ rồi sao ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieuthumeo99: 31-01-2013 - 11:10

[Zaraki]

Tìm nghiệm nguyên dương của pt
$x^3y+xy^3-3x-3y=17$

Hoặc ta có thể giải thế này.
Lời giải. Phương trình tương đương với $y(x^3-3)+x(y^3-3)=17$.
Vì $x,y$ nguyên dương và $17>0$ nên $y^3-3,x^3-3>0$. Mà với $x,y \ge 3$ thì $y(x^3-3)+x(y^3-3)>17$. Do đó chỉ có thể $x,y \le 2$.

Gỉa sử một trong hai số $x,y$ có giá trị bằng $1$, không mất tính tổng quát giả sử $x=1$. Khi đó phương trình trở thành $$y^3-3y-20=0$$
Phương trình này không có nghiệm nguyên dương.
Vậy $\boxed{(x,y)=(2;2)}$.

[Zaraki]

Một câu hỏi đặt ra: Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình nghiệm nguyên thì ta sẽ giải thế nào ?

[NLT]

Một câu hỏi đặt ra: Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình nghiệm nguyên thì ta sẽ giải thế nào ?

Đơn giản thôi em.
Trường hợp $x,y>0$ giải như em đã trình bày.
Trường hợp $x,y<0$, thì $(-x)$ và $(-y)$ là các số nguyên dương, em viết lại phương trình đã cho: \[(-x)^3(-y)+(-x)(-y)^3+3(-x)+3(-y)=17 \to (-x)^3(-y)+(-x)(-y)^3<17\]
Tới đây đơn giản vì $-x, -y >0$.
Trường hợp có $1$ trong $2$ số $x,y < 0$, không mất tính tổng quát giả sử $x > 0 >y$, đặt $a=-y$, phương trình ban đầu sẽ thành: \[{x^3}\left( { - a} \right) + x{\left( { - a} \right)^3} - 3x + 3a = 17 \to a{x^3} + x{a^3} + 3x + 17 = 3a\]
Phương trình này hoàn toàn đơn giản, chỉ cần 1 đánh giá nhỏ từ phương trình là xong!

Đó là những gợi ý cho câu hỏi mở của em, điều anh muốn nhắc thêm ở đây, đây là 1 phương trình $x,y$ có vai trò như nhau, từ bậc $3$ ta có thể xử lý đến bậc $n$ chăng? Rất nhiều vấn đề mở từ 1 bài toán, có điều là chúng ta có biết xoáy sâu hay không thôi !

Chúc em thành công với những mở rộng khác !
___
NLT