Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $f(x) \in \mathbb{Z} \forall x \in \mathbb{Z}$

- - - - - new year eve

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Cho $f\in \mathbb{R} [x], \; deg f=2013, a\in \mathbb{Z}$ sao cho $f(a+i) \in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0;2013}$ thì $f(x) \in \mathbb{Z};\forall x\in \mathbb{Z}$
Nghĩa là nếu $f(x)$ nhận giá trị nguyên tại $2014$ số nguyên liên tiếp thì $f(x)$ nguyên với mọi $x$ nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-02-2013 - 19:35

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết
Lời giải:
Một cách tổng quát, ta sẽ chứng minh rằng, nếu $f \in \mathbb{R}[x]$ có bậc $n$ nhận giá trị nguyên tại $n+1$ số nguyên liên tiếp từ $a \to a+n$ (với $a \in \mathbb{Z}$) thì
$$f(x) \in \mathbb{Z}\,\forall x \in \mathbb{Z}$$
Trước hết, ta cần có định lý về khai triển Abel:
Cho $f \in \mathbb{R}[x]$ có bậc $n$ và $n$ số thực $a_1;a_2;...;a_n$, khi đó tồn tại duy nhất $n+1$ số thực $(b_0;b_2;...;b_{n})$ sao cho
\[
f\left( x \right) = b_0 \left( {x - a_1 } \right)\left( {x - a_2 } \right)...\left( {x - a_n } \right) + b_1 \left( {x - a_1 } \right)\left( {x - a_2 } \right)...\left( {x - a_{n - 1} } \right) + ... + b_{n - 1} \left( {x - a_1 } \right) + b_n
\]
(có thể chứng minh bằng quy nạp).
Quay lại bài toán. Áp dụng khai triển Abel cho $n$ số thực $a_i=a+i \in \mathbb{Z}\,\,\forall i=\overline{1,n}$
\[
f\left( x \right) = b_0 \left( {x - a - 1} \right)\left( {x - a - 2} \right)...\left( {x - a - n} \right) + b_1 \left( {x - a - 1} \right)\left( {x - a - 2} \right)...\left( {x - a - n + 1} \right) + ... + b_{n - 1} \left( {x - a - 1} \right) + b_n
\]
Suy ra
\[
\begin{array}{rcl}
f\left( {a + 1} \right) = b_n &\in& \mathbb{Z} \\
f\left( {a + 2} \right) = b_{n - 1} .1! + b_n &\in& \mathbb{Z} \Rightarrow b_{n - 1} \in \mathbb{Z} \\
f\left( {a + 3} \right) = b_{n - 2} .2! + b_{n - 1} .1! + b_n &\in& \mathbb{Z} \Rightarrow b_{n - 2} .2! \in \mathbb{Z} \\
... \\
f\left( {a + n} \right) &\in& \mathbb{Z} \Rightarrow b_1 .\left( {n - 1} \right)! \in \mathbb{Z} \\
f\left( a \right) &\in& \mathbb{Z} \Rightarrow b_0 .n! \in \mathbb{Z} \\
\end{array}
\]
Viết lại $f(x)$
\[
f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {k!b_{n-k} \binom{x - a}{k}}
\]
Trong đó $\binom{x-a}{k}=\dfrac{(x-a-1)(x-a-2)...(x-a-k)}{k!} \in \mathbb{Z}\,\,\forall x \in \mathbb{Z}$ và $k!b_{n-k} \in \mathbb{Z}$ (c/m trên).
Vậy $$f(x) \in \mathbb{Z}\,\,\forall x \in \mathbb{Z}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-02-2013 - 14:31

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Bài này em thử dùng bằng các tiêu chuẩn nội suy nhưng cực kì phức tạp.
Tuy nhiên em có lời giải khác khá đẹp

 

Bài toán. Cho $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ có bậc $n$. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ nhận giá trị nguyên tại $n + 1$ giá trị nguyên liên tiếp thì $P(x)$ nhận giá trị nguyên với mọi $x$ nguyên.

Lời giải



#4
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

 

 

 

Bài toán. Cho P(x)R[x]P(x)∈R[x] có bậc nn. Chứng minh rằng nếu P(x)P(x) nhận giá trị nguyên tại n+1n+1 giá trị nguyên liên tiếp thì P(x)P(x) nhận giá trị nguyên với mọi xx nguyên.

Không mất tính tổng quát giả sử n+1 giá trị nguyên liên tiếp đó là $a_k=k ( k=\overline{0;n})$ Áp dụng công thức nội suy Lagrange ta có:

 

$P(x)=\sum_{k=1}^{n}(\frac{(-1)^{n-k}P(a_k)\prod_{i=0,i\neq k}^{n}(x-i)}{k!(n-k)!})$

 

Theo giả thiết $P(a_k)$ nguyên. Mà $\prod_{i=0,i\neq k}^{n}(x-i) \vdots k!(n-k)!$ 

 

Vậy nên $P(x)$ nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.

 

Còn có bài toán rộng hơn là:

 

 

Nếu đa thức f(x) có bậc không quá n và có giá trị hữu tỉ tại n+1 điểm khác nhau thì f(x) sẽ nhận giá trị hữu tỉ với mọi x hữu tỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 01-05-2016 - 23:16






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: new year eve

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh