Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 14-02-2013 - 22:03

Bài toán:
Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo.Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-03-2016 - 23:37

Bổ đề. $P(x)$ có $\deg{P}$ lẻ thì $P(x)$ có nghiệm thực.

Bổ đề cho ta $\deg{P}$ chẵn.
Theo định lý cơ bản của đại số và điều kiện $P(x)$ có toàn bộ nghiệm ảo thì $P(x)$ có thể phân tích thành tích các tam thức bậc hai hệ số thực.
Xét một nghiệm $bi$ bất kì của $P(x)$, khi đó $bi$ là nghiệm của $x^{2} + mx + n = 0$. Do $m, n\in \mathbb{R}$ nên $-bi$ cũng là nghiệm của $P(x)$
Vì thế $P(x) = (x^{2} + s_{1})(x^{2} + s_{2})\cdots (x^{2} + s_{k})$ với $s_{i} > 0$
$P'(x) = 2x\left[\sum_{1 \le a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{k - 1}\le k}\prod_{i = 1}^{k - 1}(x^{2} + s_{a_{i}})\right]$
Từ đây dễ dàng suy ra $P'(x)$ có nghiệm thực duy nhất là $0$.

:mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:
http://press.princet...wers_VIII_6.pdf
Lời khuyên dành cho các nhà toán học trẻ.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh