Bài toán:
Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo.Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực
Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực
Bắt đầu bởi alex_hoang, 14-02-2013 - 22:03
#1
Đã gửi 14-02-2013 - 22:03
- E. Galois, nguyenthehoan và baopbc thích
#2
Đã gửi 27-03-2016 - 23:37
Bổ đề. $P(x)$ có $\deg{P}$ lẻ thì $P(x)$ có nghiệm thực.
Bổ đề cho ta $\deg{P}$ chẵn.
Theo định lý cơ bản của đại số và điều kiện $P(x)$ có toàn bộ nghiệm ảo thì $P(x)$ có thể phân tích thành tích các tam thức bậc hai hệ số thực.
Xét một nghiệm $bi$ bất kì của $P(x)$, khi đó $bi$ là nghiệm của $x^{2} + mx + n = 0$. Do $m, n\in \mathbb{R}$ nên $-bi$ cũng là nghiệm của $P(x)$
Vì thế $P(x) = (x^{2} + s_{1})(x^{2} + s_{2})\cdots (x^{2} + s_{k})$ với $s_{i} > 0$
$P'(x) = 2x\left[\sum_{1 \le a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{k - 1}\le k}\prod_{i = 1}^{k - 1}(x^{2} + s_{a_{i}})\right]$
Từ đây dễ dàng suy ra $P'(x)$ có nghiệm thực duy nhất là $0$.
Bổ đề cho ta $\deg{P}$ chẵn.
Theo định lý cơ bản của đại số và điều kiện $P(x)$ có toàn bộ nghiệm ảo thì $P(x)$ có thể phân tích thành tích các tam thức bậc hai hệ số thực.
Xét một nghiệm $bi$ bất kì của $P(x)$, khi đó $bi$ là nghiệm của $x^{2} + mx + n = 0$. Do $m, n\in \mathbb{R}$ nên $-bi$ cũng là nghiệm của $P(x)$
Vì thế $P(x) = (x^{2} + s_{1})(x^{2} + s_{2})\cdots (x^{2} + s_{k})$ với $s_{i} > 0$
$P'(x) = 2x\left[\sum_{1 \le a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{k - 1}\le k}\prod_{i = 1}^{k - 1}(x^{2} + s_{a_{i}})\right]$
Từ đây dễ dàng suy ra $P'(x)$ có nghiệm thực duy nhất là $0$.
- Zaraki, chanhquocnghiem, Bui Ba Anh và 4 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh