Đến nội dung

Hình ảnh

Nghịch lý hai phong bì


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Chiếc phong bì được Edwin Hill và Warren De La Rue (người Anh) thiết kế năm 1845 và sản xuất công nghiệp. Thời xưa, một nhà Toán học ngành xác suất nghĩ ra một trò chơi “Hai chiếc phong bì” cho đám nhà giàu rỗi việc. Hai người chơi bí mật tự cho tiền (khác $0$) vào phong bì của mình. Khi so “nội dung”, nếu số tiền bằng nhau coi như hòa. Ai có số tiền ít hơn sẽ thắng (nghèo hơn mà – vì đám quí tộc không ai thích mang tiếng ít tiền) và chiếm số tiền trong chiếc phong bì kia. Người thua thiệt hơn vì phải nhận số tiền nhỏ hơn số tiền mà mình bỏ ra. Nghịch lý trò chơi nằm ở chỗ, người chơi bỏ ra một số tiền $x$, nếu thắng sẽ chiếm được số tiền của đối phương lớn hơn $x$. Như vậy, trò chơi này có vẻ lợi cho mình. Đương nhiên đối phương kia cũng nghĩ thế. Đây là trò chơi đối xứng khá công bằng. Câu hỏi của nhà Toán học là, lỗi “tư duy lợi lộc” của hai người chơi là gì?
Hình đã gửi
Giả sử bạn được mời tham gia trò chơi kể trên. Bạn băn khoăn xem có nên chơi không. Bạn nghĩ, giả sử mình cho vào phong bì số tiền $x$. Bạn có nên đổi nó lấy phong bì kia hay không vì bạn chưa biết số tiền ở phong bì của người kia. Tiền bạc trong phong bì không phải là vấn đề quan trọng đối với bạn, bạn chỉ muốn tìm một cơ sở thuận lý nào đó cho quyết định của mình.
Đây là một bài toán khó, thường được biết dưới tên khác là “Sự nghịch lý của bài toán hai phong bì”. Nghịch lý vì một mặt bạn có thể tìm thấy một lời giải mà bạn cho là đúng, là thuận lý của bài toán, nhưng mặt khác, bạn lại thấy lời giải đó lại mâu thuẩn với chính nó!
Để tiện việc giải thích, gọi $A$ là phong bì của bạn, và $B$ là phong bì còn lại. Nếu bạn chọn phong bì $B$, tức là bạn tham gia chơi. Nếu bạn chọn lại phong bì $A$ của mình, tức là bạn hủy cuộc chơi.

Có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì $B$ còn lại: số tiền này có thể là $ax, (a \geq 1)$ hay $\frac{x}{a}$. Xác suất để phong bì $B$ có $ax$ hay $\frac{x}{a}$ bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$.
Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì $B$ là:
$$\frac{1}{2} \times ax + \frac{1}{2} \times \frac{x}{a} = \frac{1}{2}\left ( a+\frac{1}{a} \right )x \geq x$$
Như vậy: bạn nên nhận phong bì $B$ và tham gia cuộc chơi.
Nhưng …
Nếu ngay từ đầu gọi số tiền trong phong bì $B$ là $x$ thì sao.
Cũng bằng cách lý luận như trên, bây giờ bạn lại thấy là bạn nên nhận phong bì $A$! Rõ ràng, hai kết quả trên mâu thuẫn nhau. Đó là lý do mà người ta gán nghịch lý cho bài toán hai phong bì.
Nhưng, thực sự bài toán hai phong bì có nghịch lý không? Thưa không, nói lý luận trên là một nguỵ biện thì đúng hơn. Thật vậy,
Khi “Gọi $x$ là số tiền trong phong bì $A$” và số tiền ở phong bì $B$ là $ax$ hoặc $\frac{x}{a}$ là đã xem như bạn đã biết số tiền ở phong bì $B$ tức là đã so sánh được số tiền ở hai phong bì.
Lý luận trên phải sửa lại như sau:
“Gọi $x,y$ là hai số tiền, $x \geq y$. Nếu $x$ nằm trong $A$ thì $y$ nằm trong $B$ và $x$ nằm trong $B$ thì $y$ nằm trong $A$
Như vậy thì có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì $B$: $x$ và $y$ với cùng xác suất $\frac{1}{2}$. Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì $B$ bằng:
$$\frac{1}{2} \times x + \frac{1}{2} \times y = \frac{x+y}{2}$$
Số tiền này cao hơn, bằng hay thấp hơn số tiền ở phong bì $A$ thì còn chưa biết được.
Kết luận là trò chơi hoàn toàn công bằng chứ không hề có lợi cho bạn hay người chơi kia. Số kì vọng nhận được ở cả hai người chơi là bằng nhau và bằng trung bình cộng số tiền ban đầu của cả hai.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
namdenck49

namdenck49

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

cũng hay thật toán học có cả trong trò chơi



#3
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Chiếc phong bì được Edwin Hill và Warren De La Rue (người Anh) thiết kế năm 1845 và sản xuất công nghiệp. Thời xưa, một nhà Toán học ngành xác suất nghĩ ra một trò chơi “Hai chiếc phong bì” cho đám nhà giàu rỗi việc. Hai người chơi bí mật tự cho tiền (khác $0$) vào phong bì của mình. Khi so “nội dung”, nếu số tiền bằng nhau coi như hòa. Ai có số tiền ít hơn sẽ thắng (nghèo hơn mà – vì đám quí tộc không ai thích mang tiếng ít tiền) và chiếm số tiền trong chiếc phong bì kia. Người thua thiệt hơn vì phải nhận số tiền nhỏ hơn số tiền mà mình bỏ ra. Nghịch lý trò chơi nằm ở chỗ, người chơi bỏ ra một số tiền $x$, nếu thắng sẽ chiếm được số tiền của đối phương lớn hơn $x$. Như vậy, trò chơi này có vẻ lợi cho mình. Đương nhiên đối phương kia cũng nghĩ thế. Đây là trò chơi đối xứng khá công bằng. Câu hỏi của nhà Toán học là, lỗi “tư duy lợi lộc” của hai người chơi là gì?
phongbi.jpg
Giả sử bạn được mời tham gia trò chơi kể trên. Bạn băn khoăn xem có nên chơi không. Bạn nghĩ, giả sử mình cho vào phong bì số tiền $x$. Bạn có nên đổi nó lấy phong bì kia hay không vì bạn chưa biết số tiền ở phong bì của người kia. Tiền bạc trong phong bì không phải là vấn đề quan trọng đối với bạn, bạn chỉ muốn tìm một cơ sở thuận lý nào đó cho quyết định của mình.
Đây là một bài toán khó, thường được biết dưới tên khác là “Sự nghịch lý của bài toán hai phong bì”. Nghịch lý vì một mặt bạn có thể tìm thấy một lời giải mà bạn cho là đúng, là thuận lý của bài toán, nhưng mặt khác, bạn lại thấy lời giải đó lại mâu thuẩn với chính nó!
Để tiện việc giải thích, gọi $A$ là phong bì của bạn, và $B$ là phong bì còn lại. Nếu bạn chọn phong bì $B$, tức là bạn tham gia chơi. Nếu bạn chọn lại phong bì $A$ của mình, tức là bạn hủy cuộc chơi.

Có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì $B$ còn lại: số tiền này có thể là $ax, (a \geq 1)$ hay $\frac{x}{a}$. Xác suất để phong bì $B$ có $ax$ hay $\frac{x}{a}$ bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$.
Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì $B$ là:
$$\frac{1}{2} \times ax + \frac{1}{2} \times \frac{x}{a} = \frac{1}{2}\left ( a+\frac{1}{a} \right )x \geq x$$
Như vậy: bạn nên nhận phong bì $B$ và tham gia cuộc chơi.
Nhưng …
Nếu ngay từ đầu gọi số tiền trong phong bì $B$ là $x$ thì sao.
Cũng bằng cách lý luận như trên, bây giờ bạn lại thấy là bạn nên nhận phong bì $A$! Rõ ràng, hai kết quả trên mâu thuẫn nhau. Đó là lý do mà người ta gán nghịch lý cho bài toán hai phong bì.
Nhưng, thực sự bài toán hai phong bì có nghịch lý không? Thưa không, nói lý luận trên là một nguỵ biện thì đúng hơn. Thật vậy,
Khi “Gọi $x$ là số tiền trong phong bì $A$” và số tiền ở phong bì $B$ là $ax$ hoặc $\frac{x}{a}$ là đã xem như bạn đã biết số tiền ở phong bì $B$ tức là đã so sánh được số tiền ở hai phong bì.
Lý luận trên phải sửa lại như sau:
“Gọi $x,y$ là hai số tiền, $x \geq y$. Nếu $x$ nằm trong $A$ thì $y$ nằm trong $B$ và $x$ nằm trong $B$ thì $y$ nằm trong $A$
Như vậy thì có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì $B$: $x$ và $y$ với cùng xác suất $\frac{1}{2}$. Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì $B$ bằng:
$$\frac{1}{2} \times x + \frac{1}{2} \times y = \frac{x+y}{2}$$
Số tiền này cao hơn, bằng hay thấp hơn số tiền ở phong bì $A$ thì còn chưa biết được.
Kết luận là trò chơi hoàn toàn công bằng chứ không hề có lợi cho bạn hay người chơi kia. Số kì vọng nhận được ở cả hai người chơi là bằng nhau và bằng trung bình cộng số tiền ban đầu của cả hai.

tức là cứ cho thật ít tiền là thắng ạ?



#4
tienthienyet

tienthienyet

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

tức là cứ cho thật ít tiền là thắng ạ?

không, hình như là cho nhiều tiền vào, sau đó nếu muốn chơi tiếp thì tráo 2 phong bì cho nhau, phong bì nào ít tiền hơn người đó sẽ thắng


Bạn nghĩ mình học kém ư???

Không hề!!

Chỉ là cách bạn tiếp thu các bài giảng và cách nhớ như thế nào thôi.

Cố lên! Cố lên! Cố lên! :lol:  :lol:  :lol:

I ♥  Mathematics





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh