2 replies to this topic

[Nguyenhuyen_AG]

Trong kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 2006 trong bài thi ngày thứ 2 có bài toán bất đẳng thức sau đây của thầy Trần Nam Dũng
Chứng minh rằng nếu $x,y,z$ thuộc $[1,2]$ thì $$(x+y+z)\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right ) \ge 6\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right ).$$
bài toán còn đúng trong điều kiện mạnh hơn khi $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của tam giác, tức là ta có thể đưa bài toán về điều kiện ba biến dương như sau $$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right ) \ge 3\left ( \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c} \right ).$$ Theo mình được biết thì bài toán có hai lời giải là S.O.S và dồn biến, hiện vẫn chưa có lời giải bằng cổ điển cho bài toán này, mình vẫn đang tìm một lời giải cổ điển cho bài toán này nhưng vẫn chưa tìm được, nay viết lên đây hi vọng nhận được sự quan tâm của các bạn.

Edited by Nguyenhuyen_AG, 24-02-2013 - 21:52.

[WhjteShadow]

$$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right ) \ge 3\left ( \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c} \right ).$$

Em làm cách suýt cổ điển ạ :">
CHuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+3\geq \frac{6}{b+2c+a}+\frac{6}{c+2a+b}+\frac{6}{a+2b+c}$$
Quy đồng và chuyển bất đẳng thức về ngôn ngữ pqr ta cần chứng minh:
$$12q^2+7qr-243q-3r^2+117r+486\geq 0$$
Xét đây là hàm the0 $r$ ta có $f''(r)=-6<0$ nên đây là hàm lồi the0 $r$, đạt cực tiểu tại biên, nghĩa là $r=0$ hoặc $1$.
Nếu $r=1$ thì hiển nhiên $a=b=c=1$, đẳng thức xảy ra.
Nếu $r=0$. Ta có $q\leq \frac{9}{4}$, bất đẳng thức tương đương:
$$3(4q-9)(q-19)\geq 0$$
Hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị $\blacksquare$

[viet 1846]

Em làm cách suýt cổ điển ạ :">
CHuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+3\geq \frac{6}{b+2c+a}+\frac{6}{c+2a+b}+\frac{6}{a+2b+c}$$
Quy đồng và chuyển bất đẳng thức về ngôn ngữ pqr ta cần chứng minh:
$$12q^2+7qr-243q-3r^2+117r+486\geq 0$$
Xét đây là hàm the0 $r$ ta có $f''®=-6<0$ nên đây là hàm lồi the0 $r$, đạt cực tiểu tại biên, nghĩa là $r=0$ hoặc $1$.
Nếu $r=1$ thì hiển nhiên $a=b=c=1$, đẳng thức xảy ra.
Nếu $r=0$. Ta có $q\leq \frac{9}{4}$, bất đẳng thức tương đương:
$$3(4q-9)(q-19)\geq 0$$
Hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị $\blacksquare$

:-?? cổ điển ở đâu vậy Đạt.