Giải hệ phương trình sau:
\[ \begin{cases}\frac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{x})(x+y)}-1 (*)\\ \sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} (**)\end{cases}\quad (x,y\in\Bbb{R}) \]
Đề của
khanh3570883
giải:
điều kiện:
$\left\{\begin{matrix} (\frac{2}{y}-\frac{3}{x})(x+y)\geq 0 & \\ (x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}\geq 0 & \\ x>0 & \\ y+3> 0; y\neq0 & \end{matrix}\right.$
ta có:
pt (**)
$\Rightarrow (x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}=x+y+3+2\sqrt{x(y+3)} $
$\Leftrightarrow (x+1)^2+xy+2x+y+2-2\sqrt{x(y+3)}(x+1)=0 $
$\Leftrightarrow (x+1)^2+(x+1)(y+2)-2\sqrt{x(y+3)}(x+1)=0 $
$\Leftrightarrow x+1+y+2-2\sqrt{x(y+3)}=0(x\geq 0\Rightarrow x+1\geq 1\neq 0)$
$\Leftrightarrow x+1+y+2-2\sqrt{x(y+3)}=0 $
$\Leftrightarrow x+(y+3)=2\sqrt{x(y+3)} $
$\Rightarrow x^2+(y+3)^2+2x(y+3)=4x(y+3) $
$\Leftrightarrow x^2-2x(y+3)+(y+3)^2=0 $
$\Leftrightarrow (x-(y+3))^2=0 $
$\Leftrightarrow x=y+3$
thay $x=y+3$ vao phuong trinh:(*):
$\frac{2(y+3)^2+4y^2}{y(y+3)}=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{y+3})(2y+3)}-1 $
$\Leftrightarrow \frac{6y^2+12y+18}{y(y+3)}+1=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{y+3})(2y+3)} $
$\Leftrightarrow \frac{7y^2+15y+18}{y(y+3)}=4\sqrt{\frac{(2y+3)(6-y)}{y(y+3)}}$
$\Rightarrow 7y^2+15y+18=4\sqrt{(3y+3)(6-y)y(y+3)}$
$\Leftrightarrow (3y+18-y^2)+4.(2y^2+3y)=4\sqrt{(3y+18-y^2)(2y^2+3y)}$
$(3y+18-y^2)+4.(2y^2+3y)=4\sqrt{(3y+18-y^2)(2y^2+3y)} $
$\Rightarrow (3y+18-y^2)^2+16(2y^2+3y)^2+8(3y+18-y^2)(2y^2+3y)=16(3y+18-y^2)(2y^2+3y) $
$\Leftrightarrow (3y+18-y^2)^2-8(3y+18-y^2)(2y^2+3y)+16(2y^2+3y)^2=0 $
$\Leftrightarrow \left [ (3y+18-y^2)-4(2y^2+3y) \right ]^2=0 $
$\Leftrightarrow 3y+18-y^2-8y^2-12y=0 $
$\Leftrightarrow 9y^2+9y-18=0 $
$\Leftrightarrow 9(y-1)(y+2)=0$
do đó $y=1\Rightarrow x=4$;$y=-2\Rightarrow x=1$!
thử lại,thay $2$ cặp số $(x;y): (4;1) $và $(1;-2)$
ta thấy cặp số $(1;-2)$ không là nghiệm của hệ!còn $(4;1)$ là nghệm của hệ!
vậy hệ có $1$ nghiệm $ (x;y)$ là :$(4;1)$
Điểm bài 10S = 23 + 3*10 = 53
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 10:09
Chấm bài