ĐKXĐ : $\left\{\begin{matrix}
\cos x \geq -\frac{1}{2} & \\
\sin x \geq -\frac{1}{2} &
\end{matrix}\right.$
Do vế trái của phương trình đã cho luôn lớn hơn $0$ với mọi $x$ nên $a >0$. Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $m+n \leq \sqrt {2\left ( m^2+n^2 \right )}$ với chú ý $\sin x+\cos x \in \left [ -\sqrt {2},\sqrt {2} \right ]$ ta được $a \leq 2\sqrt{1+\sqrt{2}}$.
Bình phương hai vế của phương trình trên :
$$2\left ( 1+\cos x+\sin x \right )+2\sqrt{1+2\left ( \cos x+\sin x \right )+4\cos x\sin x}=a^2$$
Đặt $\sin x+\cos x=t$, do ĐKXĐ nên $t \geq -1$, như vậy $t\in \left [-1,\sqrt{2} \right ]$. Áp dụng đẳng thức $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ suy ra $\sin x\cos x = \frac{t^2-1}{2}$. Thay vào và viết lai phương trình :
$$2\left ( 1+t \right )+2\sqrt{2t^2+2t-1}=a^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2}{2}-t-1=\sqrt{2t^2+2t-1}$$
Dễ thấy hai vế của phương trình trên đều không âm, bình phương hai vế và rút gọn ta được :
$$t^2+a^2t+a^2-\frac{a^4}{4}-2=0$$
Đặt $f(t)=t^2+a^2t+a^2-\frac{a^4}{4}-2$
Ta cần tìm $a$ sao cho phương trình $f(t)=0$ có ngiệm thuộc $\left [-1,\sqrt{2} \right ]$
Trước hết ta tìm điều kiện đề $f(t)=0$ có nghiệm.
Hay $\Delta =a^4-4\left ( a^2-\frac{a^4}{4}-2 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow 2\left ( a^2-1 \right )^2+6 \geq 0$ luôn đúng với mọi $a$.
Gọi $t_1$, $t_2$ là các nghiệm của phương trình. Ta có :
$\begin{bmatrix}
t_1=\frac{-a^2-\sqrt{2a^4-4a^2+8}}{2} & \\
t_2=\frac{-a^2+\sqrt{2a^4-4a^2+8}}{2} &
\end{bmatrix}$
Xét cho nghiệm $t_1$. Do $t_1 \leq 0$ với mọi $a$ nên ta chỉ cần tìm $a$ sao cho tồn tại giá trị $t_1 \in \left [ -1,0 \right ]$. Giải bất phương trình :
$$\frac{-a^2-\sqrt{2a^4-4a^2+8}}{2} \geq -1$$
$$\Leftrightarrow 2-a^2 \geq \sqrt{2a^4-4a^2+8}$$
Bất phương trình trên vô nghiệm do $VT <2$, $VP \geq \sqrt{6} >2$.
Vậy không tồn tại $a$ để $t_1 \in \left [ -\frac{1}{4},0 \right ]$
Xét cho nghiệm $t_2$.
Giải bất phương trình : $\frac{-a^2+\sqrt{2a^4-4a^2+8}}{2} \geq -1$
$\Leftrightarrow \sqrt{2a^4-4a^2+8} \geq a^2-2$
Dễ thấy bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $a$.
Giải bất phương trình : $\frac{-a^2+\sqrt{2a^4-4a^2+8}}{2} \leq \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow a^2\left ( a^2-4\left ( 1+\sqrt{2} \right ) \right )\leq 0$
Do $a >0$ nên $a^2 \leq 4\left ( 1+\sqrt{2} \right )$ $\Leftrightarrow a \leq 2\sqrt{1+\sqrt{2}}$
Kết hợp các điều kiện trên ta rút ra kết luận :
Kết luận : Phương trình đã cho có nghiệm với mọi $a \in \left (0,2\sqrt{1+\sqrt{2}} \right ]$
Dự đoán là bài mình làm sai kết quả. Chẳng thấy logic tí nào cả, mình lại còn không tìm được $\min \left ( \sqrt{1+2\sin x}+\sqrt{1+2\cos x} \right )$.
Sai điều kiện ẩn phụ!ĐIỂM: 3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 13-03-2013 - 20:23