Ta có $$a_{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1} a_k = a_1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{2k}+a_{2k+1}\right)=1+\sum\limits_{k=1}^{n} \left(3a_{2k}+1\right)=n+1+3\sum\limits_{k=1}^{n} a_{2k}$$
Đặt $s_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_{2k}$ thì hệ đã cho trở thành $\begin{cases}
s_1=1 \\
s_{n+1}-s_n=n+1+3s_n
\end{cases}$
Từ hệ này ta tìm được $s_{n+1}=4s_n+(n+1)$
Đặt $t_n=s_n+\dfrac{3n+4}{9}$ thì ta có$t_1=\dfrac{16}{9}$,$t_{n+1}=4t_n$.
Nên $t_n=\dfrac{4^{n+1}}{9},s_n=\dfrac{4^{n+1}-3n-4}{9}$ và $a_{2n}=s_{n}-s_{n-1}=\dfrac{4^{n+1}-4^{n}-3}{9}$.
Suy ra $a_{2n}=\dfrac{4^n-1}{3}$ và $a_{2n+1}=2a_{2n}+1=\dfrac{2.4^n+1}{3}$.
Do đó $a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$
thầy ơi,thầy có tài liệu dãy số up lên cho m.n tham khảo với ạ