Bài toán số 6 có thể mở rộng ra bằng cách ghép hai dãy số vào:
Cho hai dãy tăng $u_n$ và $v_n$ có các phần tử nguyên dương.
Ta ghép hai dãy vào thành 1 dãy là $a_1,a_2,a_3,...a_k,...a_n...$ biểu diễn theo nhóm hay tập hợp $A_1,A_2,...,A_k,...,A_n,...$ với $A_k$ là tập hợp có số phần tử là $|A_k|=u_k$ các phần tử của $A_k$ là các số trong dãy $v_n$ bắt đầu từ $v_1$ tiếp đến là $v_2,v_3,...$ đến $v_{u_k}$. Ví dụ: $1,1,1,1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,3,5,...$
được ghép từ dãy $1,2,3,4,5...$ và $1,1,2,3,5,8,...$
Dễ thấy các phần tử cuối của $A_k$ có vị trí là tổng $S_k$ của dãy $u_n$ từ đó có thể tìm công thức tổng quát của $a_n$
Như tôi đã trình bày ở trên, ta có:
$u_n=n-\dfrac{1}{2}\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{-1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor$
và bây giờ ta có thể viết gọn hơn một chút là:
$u_n=n-\dfrac{1}{2}\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor\left\lfloor -\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor$
với một "nhiệm vụ" cho các bạn:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có đẳng thức: $\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor$
Ta có thể chứng minh $\dfrac{3+\sqrt{8n-7}}{2} > \dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}$ để chứng minh $\left\lfloor\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}\right\rfloor$
Với khả năng đọc hiểu của mình thì ý tưởng bài giải này của bạn có vẻ giống với ý tưởng của anh Thanh là phân vùng tập hợp (hay là nhóm theo cách gọi của anh Thanh). Có điều mình không hiểu sao bạn lại chọn hàm $g(x)$ này và công thức tính $\Delta$ là gì ?
$g(x)$ coi như là công thức tính tổng của dãy $1,2,3,4,...$ mình cho thế cho gọn
công thức $\Delta$ cũng chỉ để cho gọn nhưng cũng là để xem nó ở tập nào.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 24-03-2013 - 21:58