Bài 22: Giải phương trình: 
(Bài 22 được Mathlinks đặt tiêu đề "Nice equation")
Các bài trên Mathlink có vẻ pro thật! Bài 19 đúng là rắc rối. Hãy xem lời giải bài 22 có tên Nice equation!
(Tạm dịch nhưng không sát lắm vì EL rất yếu! Các bạn có thể hiểu theo ý bản thân sao cho đúng là được)
Khai triển và biến đổi phương trình thành $x^4+8x^3+\frac{2753}{6}x^2+\frac{1913}{3}x+\frac{1081}{6}=0$
(CD13: Đây là phương trình bậc 4 đầy đủ với hệ số quá rối rắm, và chúng ta hãy xem họ biến đổi thành tích của 2 tam thức! Nhưng trước khi làm vậy, hãy xem!)
Đặt $x=y-2$, ta nhận được phương trình $y^4+\frac{2609}{6}y^2-\frac{3383}{3}y+\frac{4081}{6}=0$
(CD13: Mục đích của việc đặt $y=x+2$ nhằm làm mất số hạng chứa $x^3$ từ phương trình trên để có thể phân tích thành tích của 2 tam thức đặc biệt hơn!)
Viết VT của phương trình trên thành $(y^2+ay+b)(y^2-ay+c),$ ta nhận được:
$b+c-a^2=\frac{2069}{6} \to b+c=a^2+\frac{2609}{6}$ (1)
$a(c-b)=-\frac{3383}{3} \to b-c=\frac{3383}{3a}$ (2)
$bc=\frac{4081}{6}$ (3)
Từ (1), (2) ta nhận được: $4bc=(a^2+\frac{2069}{6})^2-(\frac{3383}{3a})^2$
Kết hợp với (3) nhận được: $\frac{8162}{3}= (a^2+\frac{2069}{6})^2-(\frac{3383}{3a})^2$
Và khi đó $a^2$ là nghiệm phương trình: $z^3+\frac{2609}{3}z^2+\frac{6708937}{36}z-\frac{11444689}{9}=0$
(CD13: Đây là phương trình bậc 3 đầy đủ nên để giải thứ này phải làm mất số hạng chứa $z^2$ và dùng đến Cardano rồi. Phiền thật!)
Đặt $z=t-\frac{2609}{9}$, ta nhận được phương trình $t^3-\frac{7100713}{108}t-\frac{19167408701}{2916}=0$
Theo Cardano thì có nghiệm $t=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$
với $p=\frac{7100713}{108},q=-\frac{11444689}{9}$
Do đó $a^2=-\frac{2609}{9}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$
Nhận được $a^2$ ~ $6,61>0$, chúng ta có thể chọn $a=\sqrt{a^2}$ (trường hợp kia cũng tương tự)
Thế là ta tìm được $b=\frac{a^2}{2}+\frac{2609}{12}+\frac{3383}{6a}$ và $c=\frac{a^2}{2}+\frac{2609}{12}-\frac{3383}{6a}$
Ta kiểm tra được hai điều $a^2-4b<0$ và $a^2-4c>0$
Từ đó phương trình ban đầu $y^4+\frac{2609}{6}y^2-\frac{3383}{3}y+\frac{4081}{6}=0$
dẫn đến $y^2-ay+c=0$ tức là $y=\frac{a+\sqrt{a^2-4c}}{2};y=\frac{a-\sqrt{a^2-4c}}{2}$
Với $p, q, c$ xác định như trên thì ta tìm ra được nghiệm $y \to$ nghiệm $x$
(CD13: gõ xong mệt!)
Quite nice equation, indeed 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 07-05-2013 - 22:38
Đây không phải là hệ đối xứng nên không thể giả sử như vậy 
Bài này có trong phần bài tập đề nghị trong cuốn đại số của Nguyễn Văn Mậu nó năm trong phần hệ đối xứng,
Nó chỉ có thể là hoán vị thôi,giống như BĐT vậy đấy !
