Chủ đề này có 2 trả lời

[200dong]

Bài 1: Với n là số nguyên dương, CMR:

 

$\frac{1}{n}(C^1_n + 2C^2_n + 3C^3_n + ... + nC^n_n) < n!$

 

 

Bài 2: CMR: 

 

$2^{n-1}C^1_n +2^{n-2}C^2_n + 3.2^{n-3}C^3_n + 4.2^{n-4}C^4_n + ... + nC^n_n = n 3^{n-1}$

 

 

 

 

.

[duongtoi]

Bài 1)
Ta có $(1+x)^n=C_n^0+xC_n^1+\cdots+x^nC_n^n$
Đạo hàm hai vế ta được $n(x+1)^{n-1}=C_n^1+2xC_n^2+\cdots+nx^{n-1}C_n^n$. Cho $x=1$ ta được
$n2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+\cdots+nC_n^n$
Vậy, $VT=2^{n-1}<n$ với $\forall n>2$.
Với $n=1$ hoặc $n=2$ thì VT=VP.
Vậy đề chưa thực sự chính xác.
Bài 2)
Ta có $(2+x)^n=2^nC_n^0+x2^{n-1}C_n^1+\cdots+x^nC_n^n$.
Đạo hàm hai vế ta được $n(x+2)^{n-1}=2^{n-1}C_n^1+2^{n-2}2xC_n^2+\cdots+nx^{n-1}C_n^n$
Cho $x=1$ ta được
$2^{n-1}C_n^1+2^{n-2}.2C_n^2+\cdots+nC_n^n=n3^{n-1}$

(ĐỀ SAI NHÉ, KIỂM TRA LẠI SỐ HẠNG THỨ HAI TỪ BÊN TRÁI SANG)

[25 minutes]

Bài 1: Với n là số nguyên dương, CMR:

 

$\frac{1}{n}(C^1_n + 2C^2_n + 3C^3_n + ... + nC^n_n) < n!$

 

 

Bài 2: CMR: 

 

$2^{n-1}C^1_n +2^{n-2}C^2_n + 3.2^{n-3}C^3_n + 4.2^{n-4}C^4_n + ... + nC^n_n = n 3^{n-1}$

 

 

 

 

.

 

Bài 1:
 Sử dụng cách tính như của ban duongtoi ta có 
    $\frac{1}{n}(\textrm{C}_{n}^{1}+2\textrm{C}_{n}^{2}+...+n\textrm{C}_{n}^{n}+)=2^{n-1}$
Ta cần chứng minh $n! > 2^{n-1}$
Dễ thấy đẳng thức xảy ra với $n=1,2$, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n \geq 3$ bằng phương pháp quy nạp    (*)
Giả sử mệnh đề (*) đúng với $n=k, k \geq 3$, tức là $k! > 2^{k-1}$
Ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$, tức là phải chứng minh 
                                                 $(k+1)! > 2^k$
Thật vậy ta có $(k+1)!=k!(k+1) > 2^{k-1}(k+1) > 2^{k-1}.2=2^k$, do giả thiết quy nạp và $k \geq 3$
Vậy (*) được chứng minh xong