Chủ đề này có 20 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:

1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h10, Thứ Sáu, ngày 22/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[E. Galois]

Đề bài: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $a+b+c=6$

Tìm min của
$$P =\sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc+a^{2}}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac+b^{2}}}$$

Đề của 

31ichiro

[anhminhkhon]

Ta có P>0
$P^{2}=(\sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc+a^{2}}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac+b^{2}}})^{2}$$\leq (\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ac+b^{2}})(1+1+1)\leq 3(\frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca})\leq \frac{3.3.(a+b+c+c+a+b)}{(6-a)^{2}+(6-b)^{2}+(6-c)^{2}}/2=\frac{108}{36.3-12.6+a^{2}+b^{2}+c^{2}}/2\leq \frac{108}{36+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}/2=\frac{9}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Vậy min P=$\frac{3}{\sqrt{2}}$

[E. Galois]

BTC đã sửa lại đề MSS trận 24. Thời gian thi đấu bắt đầu tính từ 6h30 ngày 23/03. 
Nội dung sửa: Chữ $max$ được thay bằng chữ $min$

[Ha Manh Huu]

ôi trời thay max = min

[E. Galois]

Các toán thủ hãy nhận xét đề và bài làm

[babystudymaths]

Ta có P>0
$P^{2}=(\sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc+a^{2}}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac+b^{2}}})^{2}$$\leq (\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ac+b^{2}})(1+1+1)\leq 3(\frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca})\leq \frac{3.3.(a+b+c+c+a+b)}{(6-a)^{2}+(6-b)^{2}+(6-c)^{2}}/2=\frac{108}{36.3-12.6+a^{2}+b^{2}+c^{2}}/2\leq \frac{108}{36+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}/2=\frac{9}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Vậy min P=$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Bài của bạn đã bị ngược dấu ở phần biến đổi thứ 2 trái sang phải khi bạn dùng Schwarz 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 26-03-2013 - 18:38

[anhminhkhon]

Bài của bạn đã bị ngược dấu ở phần biến đổi thứ 2 trái sang phải khi bạn dùng Schwarz 

uk

thanks bạn nha

[Devil25]

Mời các bạn vào mấy trang sau đây

http://www.wolframal...^1/2)&t=mfftb01

http://www.wolframal...b=2.8 and c=0.1

tham khảo thêm  cái này

http://www.wolframal...c=0.4&t=mfftb01

Rút ra nhận xét

Hóng đáp án

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Devil25: 26-03-2013 - 22:15

[Trang Luong]

Đề bài: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $a+b+c=6$

Tìm min của
$$P =\sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc+a^{2}}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac+b^{2}}}$$

Đề của 

31ichiro

Thưa thầy E.Galois em nghĩ bài này chỉ cần thay điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}$, a,b,c > 0 thì tìm max sẽ dễ hơn. Em nghĩ bài ko thể tìm đc min

[babystudymaths]

Thưa thầy E.Galois em nghĩ bài này chỉ cần thay điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}$, a,b,c > 0 thì tìm max sẽ dễ hơn. Em nghĩ bài ko thể tìm đc min

Vâng lúc đó thì sẽ có BĐT quen thuộc,  e nghĩ là có thể thay đổi Điều kiện để các số không âm thôi, bộ 3,3,0 sẽ đáp ứng Min chăng?

[4869msnssk]

Nguyên tác đề bài là : Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $\sum \frac{1}{a}=3$

Tìm max: $P=\sum \sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}$

( khonggiadinh cấm làm , mọi người cùng thử sức bài này xem nhé)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 31ichiro: 27-03-2013 - 21:21

[daovuquang]

Nguyên tác đề bài là : Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $\sum \frac{1}{a}=3$

Tìm max: $P=\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}$

( khonggiadinh cấm làm , mọi người cùng thử sức bài này xem nhé)

 

Đáp án đâu rồi bạn, sao chưa thấy post

[babystudymaths]

Nguyên tác đề bài là : Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $\sum \frac{1}{a}=3$

Tìm max: $P=\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}$

( khonggiadinh cấm làm , mọi người cùng thử sức bài này xem nhé)

bìa theo như bạn sửa thì có lẽ là như sau

Áp dụng CS$\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}= \sum \frac{(a+b)^{2}}{b(a^{2}+c^{2})+a(b^{2}+c^{2})}\leq \sum (\frac{b^{2}}{a(c^{2}+b^{2})}+\frac{a^{2}}{b(a^{2}+c^{2})})= \sum \frac{1}{a}\Rightarrow \blacksquare$,nhưng mình thấy nó không liên quan gì đến bài toán của bạn cả

[Trang Luong]

Nguyên tác đề bài là : Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $\sum \frac{1}{a}=3$

Tìm max: $P=\sum \sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}$

( khonggiadinh cấm làm , mọi người cùng thử sức bài này xem nhé)

----------------------------------

Mình là 1thành viên nên mình sẽ đc phép giải :

Ta có :$\sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{ab+c^{2}}+1 \right )$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}+3 \right )$

Ta sẽ chứng minh : $\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

Ta có :

$A=\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}-\sum \frac{1}{a}=\frac{(c-b)(a-c)}{abc+c^{3}}+\frac{(b-a)(a-c)}{abc+a^{3}}+\frac{(b-c)(a-b)}{abc+b^{3}}$

Giả sừ $a\geq b\geq c>0\Rightarrow b^{3}\geq c^{3}\Rightarrow \frac{(b-c)(a-b)}{abc+c^{3}}\geq \frac{(b-c)(a-b)}{abc+b^{3}}$

$\Rightarrow A\leq \frac{(b-c)(a-b)}{abc+c^{3}}+\frac{(b-c)(c-a)}{abc+c^{3}}+\frac{(b-a)(a-c)}{abc+a^{3}}=\frac{(b-a)(a-c)}{abc+a^{3}}+\frac{(b-c)(c-b)}{abc+c^{3}}\leq 0\Rightarrow \sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

$P\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}+3 \right )\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{a}+3 \right )=3$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

[babystudymaths]

Nhưng lời giải của đề mà 31ichiro cho là nguyên tác theo mình thật khó liên quan đến MSS 24 lần này

[Ha Manh Huu]

Ta có P>0
$P^{2}=(\sqrt{\frac{a+b}{ab+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc+a^{2}}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac+b^{2}}})^{2}$$\leq (\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ac+b^{2}})(1+1+1)\leq 3(\frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca})\leq \frac{3.3.(a+b+c+c+a+b)}{(6-a)^{2}+(6-b)^{2}+(6-c)^{2}}/2=\frac{108}{36.3-12.6+a^{2}+b^{2}+c^{2}}/2\leq \frac{108}{36+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}/2=\frac{9}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Vậy min P=$\frac{3}{\sqrt{2}}$

sao dấu sai thì phải nhỉ

[E. Galois]

Do sự cố về đề, toán thủ 31ichiro sẽ bị kỉ luật. Kết quả MSS trận 24 sẽ bị hủy bỏ. MSS trận 25 vẫn diễn ra theo kế hoạch. MSS BĐT sẽ được thi đấu ngay sau trận 25

[4869msnssk]

Do sự cố về đề, toán thủ 31ichiro sẽ bị kỉ luật. Kết quả MSS trận 24 sẽ bị hủy bỏ. MSS trận 25 vẫn diễn ra theo kế hoạch. MSS BĐT sẽ được thi đấu ngay sau trận 25

kỉ luật là sao vậy ạ?

[E. Galois]

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được -30 điểm.