Cho tam giác nhọn $ABC$. Từ điểm $E$ bất kỳ trên $AC$ ( $E$ khác $A$ và $C$) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng$ BC$, đường thẳng này cắt$ AB$ tại $D$. Lấy $M$ trên $AB$ sao cho góc AME = góc BMC. Qua giao điểm $O$ của đường thẳng $BE$ và $CD$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt cạnh $AC$ tại $N$. CMR:$OM=ON$
Đề của Joker9999
-Nếu M là giao điểm của ON và AB
http://upanh.com/vie...&id=3vl0fnduafb
Gọi I là giao điểm của ME và BC
Theo bài ra ta có:
$\widehat{AME}=\widehat{BMC} \Rightarrow \widehat{IMB}=\widehat{BMC}$
Do đó MB là phân giác của $\widehat{IMC}$ (1)
Lại có:
Theo Ta-lét:
$\frac{ED}{IB}=\frac{EM}{MI}=\frac{OE}{OB}=\frac{DE}{BC}\Rightarrow$IB=BC (2)
Từ (1) (2) thì tam giác MIC cân tại M nên $AB\perp BC$ nên tam giác ABC vuông tại B ( vô lí)
Vậy M không thể là giao điểm của ON và AB
-Nếu M không là giao điểm của ON và AB, ta gọi giao điểm đó là S
http://upanh.com/vie...&id=9vl48n4denf
Tương tự như trên thì MB là phân giác góc IMC , do đó $\frac{MI}{MC}=\frac{IB}{BC}$
Theo Ta-lét:
$\frac{OS}{BC}=\frac{DO}{DC}=\frac{EN}{EC}=\frac{ON}{BC}$$\Rightarrow$ OS=ON
Ta cần chứng minh OM=ON, khi đó ta cần chứng minh tam giác SMN vuông tại M
bây giờ ta chứng minh MN là phân giác góc EMC
Thật vậy, theo Ta-lét
Ta có:
$\frac{ME}{IM}=\frac{DE}{IB}; \frac{MC}{MI}=\frac{BC}{BI}$
$\Rightarrow \frac{ME}{MC}.\frac{NC}{NE}=\frac{ED}{BC}.\frac{BO}{OE}=\frac{ED}{BC}.\frac{BC}{DE}=1\Rightarrow \frac{ME}{MC}=\frac{EN}{NC}$
Do đó theo định đí đảo phân giác thì MN là phân giác góc EMC, từ đó $\widehat{EMN}=\widehat{CMN}$$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BMN}\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BMN}=90\Rightarrow$ tam giác NMS vuông tại M, mặt khác OS=ON nên OM=ON(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vậy OM=ON
Điểm bài 10
S = 15+3*10 = 45
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-06-2013 - 16:03
Chấm bài