Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] - Trận 24 - Hình học


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:

1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 22/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

2) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Cho tam giác nhọn $ABC$. Từ điểm $E$ bất kỳ trên $AC$ ( $E$ khác $A$ và $C$) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng$ BC$, đường thẳng này cắt$ AB$ tại  $D$. Lấy $M$ trên $AB$ sao cho góc AME = góc BMC. Qua giao điểm $O$ của đường thẳng $BE$ và $CD$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt cạnh $AC$ tại $N$. CMR:$OM=ON$

Đề của Joker9999

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

MO24.png
Đường thẳng từ $O \parallel BC$ cắt $AC$ tại $K$.
Khi đó theo $\text{Thales}$, ta có:
$\dfrac{KO}{DE} = \dfrac{BO}{BE} = \dfrac{CO}{CD} = \dfrac{ON}{DE}$
$\Rightarrow OK = ON$, vậy $O$ là trung điểm $KN$
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $\triangle KMN$ vuông tại $M$. Điều này tương đương $MN$ là phân giác $\angle CME$
$\Leftrightarrow \dfrac{ME}{MC} = \dfrac{EN}{NC} = \dfrac{DE}{BC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{ME}{DE} = \dfrac{MC}{BC} (*)$
Dựng tam giác $DEH$ cân tại $E$ với $H$ thuộc $BC$, khi đó $\angle EHD = \angle EDA = \angle ABC$
Mặt khác, theo giả thiết:$\angle HME = \angle BMC \Rightarrow \triangle HME \sim \triangle BMC$
$\Rightarrow \dfrac{ME}{HE} = \dfrac{MC}{BC}$, nhưng do $HE = DE$ nên $(*)$ đúng.
Vậy $MN$ là phân giác $\angle CME$, $\Rightarrow \angle KMN = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ hay $\triangle KMN$ vuông tại $M$.
Mà $O$ lại là trung điểm của $MN$ nên $OK = ON = OM \text{(đpcm!)} $

 

Chỗ màu đỏ sai

Điểm bài: 9

S = 25 + 9*3 = 52


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-06-2013 - 17:02
Chấm bài

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#4
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Cho tam giác nhọn $ABC$. Từ điểm $E$ bất kỳ trên $AC$ ( $E$ khác $A$ và $C$) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng$ BC$, đường thẳng này cắt$ AB$ tại  $D$. Lấy $M$ trên $AB$ sao cho góc AME = góc BMC. Qua giao điểm $O$ của đường thẳng $BE$ và $CD$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt cạnh $AC$ tại $N$. CMR:$OM=ON$

Đề của Joker9999

-Nếu M là giao điểm của ON và AB
http://upanh.com/vie...&id=3vl0fnduafb
Gọi I là giao điểm của ME và BC
Theo bài ra ta có:
$\widehat{AME}=\widehat{BMC} \Rightarrow \widehat{IMB}=\widehat{BMC}$
Do đó MB là phân giác của $\widehat{IMC}$  (1)
Lại có:
Theo Ta-lét:

$\frac{ED}{IB}=\frac{EM}{MI}=\frac{OE}{OB}=\frac{DE}{BC}\Rightarrow$IB=BC  (2)

Từ (1) (2)  thì tam giác MIC cân tại M nên $AB\perp BC$  nên tam giác ABC vuông tại B (  vô lí)
Vậy M không thể là giao điểm của ON và AB

-Nếu M không là  giao điểm của ON và AB, ta gọi giao điểm đó là S
http://upanh.com/vie...&id=9vl48n4denf
Tương tự như trên thì MB là phân giác  góc IMC , do đó $\frac{MI}{MC}=\frac{IB}{BC}$
Theo Ta-lét:
$\frac{OS}{BC}=\frac{DO}{DC}=\frac{EN}{EC}=\frac{ON}{BC}$$\Rightarrow$ OS=ON
Ta cần chứng minh OM=ON,  khi đó ta cần chứng minh tam giác SMN vuông tại M
bây giờ ta chứng minh MN là phân giác góc EMC
Thật vậy, theo Ta-lét
Ta có:

$\frac{ME}{IM}=\frac{DE}{IB}; \frac{MC}{MI}=\frac{BC}{BI}$
$\Rightarrow \frac{ME}{MC}.\frac{NC}{NE}=\frac{ED}{BC}.\frac{BO}{OE}=\frac{ED}{BC}.\frac{BC}{DE}=1\Rightarrow \frac{ME}{MC}=\frac{EN}{NC}$

Do đó theo định đí đảo phân giác thì MN là phân giác góc EMC, từ đó $\widehat{EMN}=\widehat{CMN}$$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BMN}\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{BMN}=90\Rightarrow$  tam giác NMS vuông tại M, mặt khác OS=ON nên OM=ON(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vậy OM=ON 

 

Điểm bài 10

S = 15+3*10 = 45


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-06-2013 - 16:03
Chấm bài

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#5
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Vẽ tia Mx là tia đối của tia ME. Theo bài ra ta có $\widehat{BMC}=\widehat{AME} \Rightarrow$ MB là phân giác của $\widehat{xMC}$.
Gọi K là giao của ON với AB.
Theo Ta-let ta có: $\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{NE}{NC}$
Nên $\frac{AE}{AC}=\frac{NE}{NC}$ Suy ra $(ANEC)=-1$ hay A,E,N,C là một hàng điểm điều hòa.
Suy ra $M(ANEC)=-1$. Mà MB là phần giác góc $\widehat{xMC}$ nên MN là phân giác $\widehat{EMC}$, Suy ra MN vuông với MB, dẫn đến $\widehat{KMN}=90$.

Lại có $\frac{OK}{BC}=\frac{OD}{DB}=\frac{OE}{EC}=\frac{ON}{BC}\Rightarrow OK=ON$
Nên tam giác MKN vuông có O là trung điểm KN Vậy OM=ON=OK.(dpcm)

 

Hình vẽ của em bị lỗi

Điểm bài: 9

S = 15+ 9*3=42

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-06-2013 - 16:07
Chấm bài

Hình đã gửi


#6
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc, mời mọi người nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#7
Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
Bài này 3 người làm thì 2 tên CQB rồi =)) 
Whjte Shadow làm dễ hiểu nhất,chắc giống vs đáp án
~~~like phát~~~

#8
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

311012.png

Đáp án của Joker9999:
Lời giải:
Vẽ $ON$ cắt $AB$ tại $P$. Theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{{\overline {ON} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {EN} }}{{\overline {EC} }} = \frac{{\overline {DP} }}{{\overline {DB} }} = \frac{{\overline {PO} }}{{\overline {BC} }} \Rightarrow \overline {ON} = - \overline {OP}
\]
$\vartriangle APN$ có cát tuyến $BOE$ nên theo định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EN} }}.\frac{{\overline {ON} }}{{\overline {OP} }}.\frac{{\overline {BP} }}{{\overline {BA} }} = 1
\]
Lại có: $\frac{{\overline {ON} }}{{\overline {OP} }}=-1$ và theo định lý Thales, $\frac{{\overline {BP} }}{{\overline {BA} }} = \frac{{\overline {CN} }}{{\overline {CA} }}$ nên
\[
\begin{array}{l}
\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EN} }} = - \frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CN} }} \Leftrightarrow \left( {CENA} \right) = - 1 \Leftrightarrow M\left( {CENA} \right) = - 1 \\
\Leftrightarrow \left( {MC;ME;MN;MA} \right) = - 1\quad \left( 1 \right) \\
\end{array}
\]

Vẽ đường thẳng $d$ qua $M$ vuông góc với $AB$. Dễ thấy $d$ là phân giác $\angle EMC$, vậy nên theo nhận xét quen thuộc
\[
\left( {MC;ME;d;MA} \right) = - 1\quad \left( 2 \right)
\]
Từ (1),(2) suy ra $d \equiv MN \Rightarrow MN \perp AB \Rightarrow \vartriangle MNP$ vuông tại $M$.
$\vartriangle MNP$ có trung tuyến $MO$ nên $OM=ON$. Bài toán được chứng minh.


<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#9
tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Bài này chính xác được lấy từ đề thi chọ đội tuyển thành phố Hà Nội, ngày thi 07-11-2011. Đây là một bài toán Hình học khá hay và chỉ cần sử dụng những công cụ đơn giản (Định lí hàm số sin và tam giác đồng dạng).

Lời giải chính thức trong đề: Lấy F đối xứng với E qua AB và chứng minh 2 tam giác sau đồng dạng: COM và CDF!


tungk45csp

#10
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Đã chấm xong trận này, điểm ra đề:

D = 4 + 3x7 + 30 = 55

 

Các toán thủ có 1 ngày để phúc khảo


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh