Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] Trận 26 - Phương pháp tọa độ trong mp


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:

1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 21h00, Thứ Sáu, ngày 05/04/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Đề của BTC

Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$

Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right ) $ và chia tam giác $ ABC $ thành hai phần có diện tích bằng nhau.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Đề của BTC

Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$

Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right ) $ và chia tam giác $ ABC $ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài giải:

[[-]] $ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 \to A(-1;1),$ $ B(3;5),$ $ C(1;-3) $ và diện tích $S_{ABC}=12(đvdt)$

[[-]] Xét 2 trường hợp:

[+] Đường thẳng $2x-3=0$ cắt $AB$ tai $P(\frac{3}{2};\frac{7}{2})$ và $BC$ tại $Q(\frac{3}{2};-1)$

$\to S_{PQB}=\frac{27}{4}\neq \frac{1}{2}S_{ABC}$

[+] Đường thẳng $y=k(x-\frac{3}{2})-6$ cắt $AB, BC, CA$ lần lượt tại $M(\frac{\frac{3}{2}k+8}{k-1};\frac{\frac{7}{2}k+6}{k-1}),N(\frac{\frac{3}{2}k-1}{k-4};\frac{24-k}{k-4}), H(\frac{\frac{3}{2}k+5}{k+2};\frac{-4k-12}{k+2})$

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $M$ thuộc đoạn $AB$ $\to -1< \frac{\frac{3}{2}k+8}{k-1}< 3$ và $1< \frac{\frac{7}{2}k+6}{k-1}< 5$

Giả sử $N$ thuộc đoạn $BC$ thì để thỏa mãn yêu cầu bài ta cần có: $S_{MBN}=\frac{1}{2}S_{ABC}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\sqrt{k^2+1}.|\frac{\frac{9}{2}k-33}{(k-1)(k-4)}|=6$(chịu)

 

Điểm bài: 3 điểm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 10:08
CHấm bài


#4
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Đề của BTC

Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$

Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right ) $ và chia tam giác $ ABC $ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

 

Ta có phương trình ba cạnh $AB,BC,CA$, dễ dàng lập các hệ phương trình để suy ra toạ độ các điểm $A(-1;1);B(3;5);C(1;-3)$, từ đó có độ dài các cạnh là:

 

$\left\{\begin{matrix} AB=4\sqrt{2}\\ BC=2\sqrt{17}\\ AC=2\sqrt{5} \end{matrix}\right.$

 

Tính $S_{\Delta}ABC=\frac{1}{2}.d(A;BC).BC=\frac{1}{2}.\frac{12\sqrt{17}}{17}.2\sqrt{17}=12$

 

Vậy đường thẳng $(d)$ chia tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng $6$

 

Vẽ các điểm $A,B,C,M$ lên trục toạ độ $Oxy$

 

Ảnh chụp màn hình_2013-04-05_224830.png

 

Từ hình vẽ, nhận thấy rằng đường thẳng $(d)$ hoặc cắt $AB$ và $AC$ hoặc cắt $AB$ và $BC$

 

 

TRƯỜNG HỢP 1: $(d)$ cắt $AB$ và $AC$

 

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(a;a+2)$;(với $-1<a<3$)

 

Giả sử $(d)$ cắt $AC$ tại $E(b;-1-2b)$;(với $-1<b<1$)

 

Tính $\cos(\widehat{BAC})=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$

 

$\Rightarrow \sin(\widehat{BAC})=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

 

$AD=\sqrt{2(a+1)^{2}}$

 

$AE=\sqrt{5(b+1)^{2}}$

 

$\Rightarrow S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE.\sin (\widehat{BAC})=6$

 

$\Leftrightarrow (a+1)^{2}.(b+1)^{2}=16$

 

Mặt khác, do $D,E,M \in (d)$ nên $\overrightarrow{DM}$ cùng phương $\overrightarrow{EM}$

 

$\Leftrightarrow \frac{3-2a}{3-2b}=\frac{4-a}{7+2b}$

 

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} (a+1)^{2}.(b+1)^{2}=16\\ (3-2a)(7+2b)=(4-a)(3-2b) \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} a=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}\\ b=\frac{-2+\sqrt{34}}{5} \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} D(\frac{-17+4\sqrt{34}}{5};\frac{-7+4\sqrt{34}}{5})\\ E(\frac{\sqrt{34}-2}{5};\frac{-1-2\sqrt{34}}{5}) \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{DE}=(\frac{15-3\sqrt{34}}{5};\frac{6-6\sqrt{34}}{5})$ là VTCP của $(d)$

 

Mà $(d)$ qua $M(\frac{3}{2};6)$

 

$\Rightarrow (d):(6-6\sqrt{34})x+(3\sqrt{34}-15)y+81-9\sqrt{34}=0$

 

 

TRƯỜNG HỢP 2: $(d)$ cắt $AB$ và $BC$

 

 

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $E(c;c+2)$;(với $-1<c<3$)

 

Giả sử $(d)$ cắt $BC$ tại $F(d;4d-7)$;(với $1<d<3$)

 

Tính $\cos(\widehat{ABC})=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2.AB.BC}=\frac{5\sqrt{34}}{34}$

 

$\Rightarrow \sin(\widehat{ABC})=\frac{3\sqrt{34}}{34}$

 

$BE=\sqrt{2(c-3)^{2}}$

 

$BF=\sqrt{17(d-3)^{2}}$

 

$\Rightarrow S_{\Delta BFE}=\frac{1}{2}.BF.BE.\sin (\widehat{BAC})=6$

 

$\Leftrightarrow (c-3)^{2}.(d-3)^{2}=16$

 

Mặt khác, do $E,M,F \in (d)$ nên $\overrightarrow{EM}$ cùng phương $\overrightarrow{FM}$

 

$\Leftrightarrow \frac{3-2c}{3-2d}=\frac{4-c}{13-4d}$

 

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} (c-3)^{2}.(d-3)^{2}=16\\ (3-2c)(13-4d)=(4-c)(3-2d) \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} c=\frac{27-2\sqrt{106}}{5}\\ d=\frac{15-\sqrt{106}}{7} \end{matrix}\right.$

Trường hợp này phải bị loại vì d < 1

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} E(\frac{27-2\sqrt{106}}{5};\frac{37-2\sqrt{106}}{5})\\ F(\frac{15-\sqrt{106}}{7};\frac{11-4\sqrt{106}}{7}) \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{EF}=(\frac{-114+9\sqrt{106}}{35};\frac{-24-6\sqrt{106}}{35})$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{a}=(38-3\sqrt{106};2\sqrt{106}+8)$là VTCP của $(d)$

 

Mà $(d)$ qua $M(\frac{3}{2};6)$

 

$\Rightarrow (d):(2\sqrt{106}+8)x+(3\sqrt{106}-38)y+216-21\sqrt{106}=0$

 

Điểm bài: 8

S=21+3*8=45


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 15:40
Chấm bài

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#5
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

ererterterterteryyyyy.JPG

Từ đồ thị ta thấy để đường thẳng d chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau thì M phải cắt AB và AC.

Vì nếu M không cắt BC thì S tạo bởi giao điểm của d với tam giác và B sẽ có diện tích nhỏ hơn $S\Delta CBM= \frac{1}{2} S\Delta ABC$

??? 

Giả sử d cắt AB tại E và AC tại F.

Khi đó tồn tại t và $t_1$ soa cho 

$E( -1-t; 1+t)$ và $F(-1-t_1; 1+2t_1)$

(SAI)

Theo gia thiết $A*(-1;1)$, $B(3;5)$, $C(1; -3)$.

Khi đó: $sinBAC=a =\frac{3}{\sqrt{10}}$

Ta có: $S_{ABC}= \frac{1}{2} AB.AC.a=12$

Do đó $S_{AEF}= \frac{1}{2} AE.AF.a=6$ 

Suy ra $|t.t_1| =4$

TH1: $t_1= \frac{4}{t}$

Do $\vec{FE} =k \vec{ME}$ nên ta có:

$\frac{t+\frac{4}{t}}{t-\frac{5}{2}}=\frac{t-\frac{8}{t}}{t-5}\Leftrightarrow -2.5t^2+12t-40=0$ (Vô nghiệm)

TH2: $t_1= \frac{-4}{t}$

Áp dụng tương tự TH1 suy ra 

$\begin{bmatrix} t=\frac{-12-4\sqrt{34}}{5}\\ t=\frac{-12+4\sqrt{34}}{5} \end{bmatrix}$

Với $t=\frac{-12-4\sqrt{34}}{5}$ thì E nằm ngoài tam giác.

Do đó $t=\frac{-12+4\sqrt{34}}{5}$

Khi đó d có PT:

$(\frac{-49+8\sqrt{34}}{10})(x-\frac{3}{2})+(\frac{-37+4\sqrt{34}}{5})(y-6)=0$

 

 

 

 

ĐIỂM BÀI: 3 ĐIỂM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 16:19
cHẤM BÀI

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#6
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Đề của BTC

Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$

Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right ) $ và chia tam giác $ ABC $ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

 ta có tọa độ của các đỉnh là nghiệm của các hệ sau

$\left\{\begin{matrix} x-y+2=0 & & \\ 2x+y+1=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow A(-1;1)$

$\left\{\begin{matrix} 4x-y-7=0 & & \\ 2x+y+1=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow C(1;-3)$

$\left\{\begin{matrix} 4x-y-7=0 & & \\ x-y+2=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow B(3;5)$

pt $MC$ là $18x-y-21=0$

Gọi $D$ là trung điểm của $AB$ ta có $S_{ADC}=S_{BDC}=\frac{1}{2}S_{ABC}$

ta có $D(1;3)$ mà giao điểm $K$ của $MC$ vs $AB$ có tọa độ là nghiệm của hệ

$\left\{\begin{matrix} 18x-y-21=0 & & \\ x-y+2=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow K(\frac{23}{17};\frac{57}{17})$

nên $(d)$ cắt cạnh $AB$ và $AC$

gs $(d)$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $T(x_T;x_T+2)$ và $K(x_K;-2x_K-1)$

ta có $S_{ATK}=\frac{1}{2}S_{ABC}\Rightarrow \frac{1}{2}AT.AK\sin A=\frac{1}{4}AB.AC\sin A\Rightarrow AT.AK=\frac{1}{2}AB.AC$

suy ra $((x_T+1)^2+(x_T+1)^2)((x_K+1)^2+(-2x_K-2)^2)=160$

$\Leftrightarrow (x_T+1)^2(x_K+1)^2=16$

mặt khác $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương nên

$\frac{x_T-\frac{3}{2}}{x_K-\frac{3}{2}}=\frac{x_T-4}{-2x_{K}-7}$

$\Rightarrow 6x_T.x_K+11x_T-14x_K=9$

Đặt $x_T+1=a$ và $x_K+1=b$ ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} a^2b^2=16 & & \\ 6(a-1)(b-1)+11(a-1)-14(b-1)=9 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a^2b^2=16 & & \\ 6ab+5a-20b=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} ab=4 & & \\ 5a-20b=-24 & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} ab=-4 & & \\ 5a-20b=24 & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$

+)$\left\{\begin{matrix} ab=4 & & \\ 5a-20b=-24 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} b=\frac{3+\sqrt{34}}{5} & & \\ a=\frac{4\sqrt{34}-12}{5} & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} b=\frac{3-\sqrt{34}}{5} & & \\ a=\frac{-4\sqrt{34}-12}{5} & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$

nên ta có $\begin{bmatrix} T(\frac{4\sqrt{34}-17}{5};\frac{4\sqrt{34}-7}{5}) & & \\ T(\frac{-4\sqrt{34}-17}{5};\frac{-4\sqrt{34}-7}{5}) & & \end{bmatrix}$

nên ta có pt đường thẳng

$\begin{bmatrix} (8\sqrt{34}-74)x+(49-8\sqrt{34})y+36\sqrt{34}-183=0 & & \\ (8\sqrt{34}+74)x-(8\sqrt{34}+49)y+36\sqrt{34}+183=0 & & \end{bmatrix}$

đường $(8\sqrt{34}+74)x-(8\sqrt{34}+49)y+36\sqrt{34}+183=0$ ko cắt $AB$ do

$((8\sqrt{34}+74)(-1)-(8\sqrt{34}+49)(1)+36\sqrt{34}+183)((8\sqrt{34}+74)3-(8\sqrt{34}+49)5+36\sqrt{34}+183)>0$

+$\left\{\begin{matrix} ab=-4 & & \\ 5a-20b=24 & & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm

Vậy pt đường thẳng $d$ tmbt là $(8\sqrt{34}-74)x+(49-8\sqrt{34})y+36\sqrt{34}-183=0$

sâsasasa.png



#7
chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết

ta có: $A$ là giao điểm của $AB$ và $AC$, do đó tọa độ $A$ là nghiệm của hệ:

$$ \left\{\begin{matrix}x_A-y_A+2=0 &  & \\2x_A+y_A+1=0 &  &\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_A=-1 &  & \\y_A=1 &  &\end{matrix}\right.$$    

vậy $A(-1;1)$

Tương tự, ta tính được:

$B(3;5);C(1;-3)$

Suy ra $M(\frac{3}{2};6)$ nằm ngoài tam giác $ABC$!
do đó qua $M$ chỉ có thể có nhiều nhất $1$ đường thẳng $(d)$ thỏa bài toán!

Vậy ta chỉ  ra $1$ đường thẳng thỏa mãn bài toán là bài toán được giải quyết!

 

 

Xét trường hợp sau:đường thẳng $(d)$ cắt đoạn $AB$ (sao cho hoành độ giao điểm khác $\frac{3}{2}$ và khác $\frac{7}{3}$, $AC$ và đường thẳng $(d)$ có dạng $y=ax+b$

 

 

Ta có: $M\epsilon (d)$ nên: $6=\frac{3}{2}a+b\Rightarrow b=\frac{12-3a}{2}$

 Khi đó $(d):y=ax+\frac{12-3a}{2}$

 

Gọi $H(h;h+2)$ là giao điểm của  đoạn $AB$ và $(d)$ $(-1\leq h\leq 3)$

ta xét $h\neq \frac{3}{2}$và $h\neq \frac{7}{3}$

Khi đó: $h+2=a.h+\frac{12-3a}{2}$

$\Leftrightarrow a=\frac{2h-8}{2h-3}$

 

$\Rightarrow  b=6-3.\frac{h-4}{2h-3}$

 

Gọi $K(x_k;y_k)$ là giao điểm của $AC$:$2x+y+1=0$ và $(d)$

Khi đó:$y_k=\frac{2h-8}{2h-3}x_k+6-3.\frac{h-4}{2h-3}$

Và $y_k=-2x_k-1$

Suy ra: $-2x_k-1=\frac{2h-8}{2h-3}x_k+6-3.\frac{h-4}{2h-3}$

 

$\Rightarrow x_k=\frac{-11h+9}{6h-14}$

 

$\Rightarrow y_k=-2x_k-1=-2\frac{-11h+9}{6h-14}-1=\frac{11h-9}{3h-7}-1$

 

 

 

Suy ra: $AH=\sqrt{(h+1)^2+(h+1)^2}=\sqrt{2}\left | h+1 \right |$

 

            $AK=\sqrt{(\frac{-11h+9}{6h-14}+1)^2+(\frac{11h-9}{3h-7}-2)^2}$

            $=\sqrt{(\frac{5h+5}{6h-14})^2+(\frac{5h+5}{3h-7})^2}$

            $=\frac{\sqrt{5}\left | 5h+5 \right |}{2\left | 3h-7 \right |}$

 ta có: $S_{ABC} =2 S_{AHK}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sin\widehat{BAC}.AB.AC=2.\frac{1}{2}.\sin\widehat{HAK}.AH.AK$

$\Leftrightarrow AB.AC=2.AH.AK$

 

$\Leftrightarrow 4.\sqrt{2}.2.\sqrt{5}=2AH.AK$

 

$\Leftrightarrow 4.\sqrt{10} =AH.AK$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\left | h+1 \right |. \frac{\sqrt{5}\left | 5h+5 \right |}{2\left | 3h-7 \right |}=4\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow  \left | \frac{(h+1).(5h+5)}{3h-7} \right |=8$

+$\frac{(h+1).(5h+5)}{3h-7} =8$

$\Leftrightarrow (h+1)(5h+5)=8(3h-7)$

$\Leftrightarrow 5h^2-14h+61$(pt vô nghiệm)

+$\frac{(h+1).(5h+5)}{3h-7} =-8$

$\Leftrightarrow (h+1)(5h+5)=-8(3h-7) $

$\Leftrightarrow 5h^2+34h-51=0 $

$\Leftrightarrow h=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}$ (nhận)hoặc $h=\frac{-17-4\sqrt{34}}{5}$( loại do $H $ thuộc đoạn $AB$ nên $-1\leq h\leq 3$)

 

 

vậy phương trình đường thẳng $(d)$ là: $ y=\frac{2h-8}{2h-3}x+6-3.\frac{h-4}{2h-3}$

 với $h=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}$ 

 

Điểm bài: 10

S = 13+ 10*3= 43


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 16:33
Chấm bài


#8
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

cho em sửa bài em 1 chút

trong bài em ghi nhầm là "$\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương" em xin sửa lại là "$\overrightarrow{MT}$ và $\overrightarrow{MK}$ cùng phương"

 

Điểm bài: 10

S = 2 + 3*10 +10 = 42


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 16:34
Chám bài


#9
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Mở rộng: Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$

Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right ) $ và cắt các cạch của tam giác $ ABC $ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{n}(n\epsilon \mathbb{N};n>2)$ diện tích $ABC$

Bài làm

Dễ thấy $A(-1;1)$, $B(3;5)$ và $C(1;-3)$

TH1: nếu $(d)$ cắt $AB$ và $AC$ 

Gs cắt $AB$ và $AC$ tại $T(x_T;x_T+2)$ và $K(x_K;-2x_K-1)$

$S_{ATK}=\frac{1}{n}S_{ABC}\Rightarrow AT.AK=\frac{AB.AC}{n}\Rightarrow \left | (x_T+1)(x_K+1) \right |=\frac{8}{n}$

mà  $\overrightarrow{MT}$ và $\overrightarrow{MK}$ cùng phương nên

$\frac{x_T-\frac{3}{2}}{x_K-\frac{3}{2}}=\frac{x_T-4}{-2x_{K}-7}$

$\Rightarrow 6x_T.x_K+11x_T-14x_K=9$

Đặt $x_T+1=a$ và $x_K+1=b$ giải hệ

$\left\{\begin{matrix} \left | ab \right |=\frac{8}{n} & & \\ 6ab+5a-20b=0 & & \end{matrix}\right.$

 tìm ra tọa độ của $T$ rồi viết pt.loại đi th $d$ ko cắt các cạnh

TH2: nếu $d$ cắt $AB$ và $BC$

gs cắt  cắt $AB$ và $BC$ tại $T(x_T;x_T+2)$ và $H(x_H;4x_H-7)$

$S_{BTH}=\frac{1}{n}S_{ABC}\Rightarrow BT.BK=\frac{AB.BC}{n}\Rightarrow \left | (x_T-3)(x_H-3) \right |=\frac{8}{n}$

 

mà  $\overrightarrow{MT}$ và $\overrightarrow{MK}$ cùng phương nên

$\frac{x_T-\frac{3}{2}}{x_H-\frac{3}{2}}=\frac{x_T-4}{4x_{H}-13}$

đặt $x_T-3=c$ và $x_K-3=d$ ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} \left | cd \right |=\frac{8}{n} & & \\ 6ab+14d-5c=0 & & \end{matrix}\right.$

giải hệ tìm ra tọa độ của $T$ rồi viết pt.loại đi th $d$ ko cắt các cạnh

 

Điểm mở rộng: 10


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 16:34
Chấm bài


#10
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Tọa độ các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt là các nghiệm của các hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}
x-y+2=0 & \\
2x+y+1=0 &
\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow A=\left ( -1;1 \right )$

$\left\{\begin{matrix}
x-y+2=0 & \\
4x-y-7=0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow B=\left ( 3;5 \right )$

$\left\{\begin{matrix}
2x+y+1=0 & \\
4x-y-7=0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow C=\left ( 1;-3 \right )$

 

Ta có : $\left\{\begin{matrix}
AB=4\sqrt{2} & \\
BC=2\sqrt{17} & \\
CA=2\sqrt{5} &
\end{matrix}\right.$

 

Do $d$ đi qua $M\left ( \frac{3}{2};6 \right )$ nên phương trình đường thẳng theo hệ số góc của $d$ là :$kx-y+6-\frac{3k}{2}=0$

 

Gọi $U$, $N$, $P$ lần lượt là giao điểm của $d$ với $AB$, $BC$, $CA$.

Dễ dàng tính được : $U=\left ( \frac{3k-12}{2k-2};\frac{7k-16}{2k-2} \right )$, $N=\left ( \frac{3k-26}{2k-8};\frac{-k-24}{k-4} \right )$, $P=\left ( \frac{3k-14}{2k+4};\frac{12-4k}{k+2}  \right)$

 

Ta xét các trường hợp sau :

TH1 : $d$ cắt đoạn thẳng $AB$ và $BC$.

Theo yêu cầu đề bài ta phải có : $d\left ( B;d \right ).UN=\frac{1}{2}d\left ( B;AC \right ).AC=12$

Tương đương với : $\frac{\left | 3k-2 \right |}{k^2+1}.\sqrt{\left ( \frac{3k-12}{2k-2}-\frac{3k-26}{2k-8} \right )^2+\left ( \frac{7k-16}{2k-2}-\frac{-k-24}{k-4} \right )^2}=12$

Giải phương trình trên ta suy ra được $k$

 

Xét tương tự cho hai trường hợp còn lại ta thu được phương trình đường thẳng $d$.

 

(Làm thế này để đỡ bị trừ điểm :luoi: )

 

Điểm bài: 3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 16:34
Chấm bài

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#11
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#12
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

ôi 1 nùi đáp số, BGK công bố đáp án chính thức đi :D


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#13
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Mượn bài làm của Trọng làm đáp án:
 

Ta có 

$$A(-1;1);B(3;5);C(1;-3), S_{ABC}=12; sin\widehat{ABC}=\frac{3}{\sqrt{34}};sin\widehat{BAC}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Đường thẳng $(d)$ chia tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng $6$. Dễ thấy đường thẳng $(d)$ hoặc cắt $AB$ và $AC$ hoặc cắt $AB$ và $BC$

 

 

TRƯỜNG HỢP 1: $(d)$ cắt $AB$ và $AC$

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(d;d+2)$,(với $-1<d<3$), $(d)$ cắt $AC$ tại $E(e;-1-2e)$,(với $-1<e<1$). Ta có:

$$AD=\sqrt{2(d+1)^{2}};AE=\sqrt{5(e+1)^{2}}$$

 

$$S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE.\sin \widehat{BAC}=6\Leftrightarrow (d+1)^{2}.(e+1)^{2}=16$$

 

Mặt khác, do $D,E,M \in (d)$ nên $\overrightarrow{DM}$ cùng phương $\overrightarrow{EM}$. Ta có

$$\frac{3-2d}{3-2e}=\frac{4-d}{7+2e}$$

 

Ta có hệ:

$$\left\{\begin{matrix} (d+1)^{2}.(e+1)^{2}=16\\ (3-2d)(7+2e)=(4-d)(3-2e) \end{matrix}\right.$$

 

Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} d=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}\\ e=\frac{-2+\sqrt{34}}{5} \end{matrix}\right.$. Vậy

$$D\left (\frac{-17+4\sqrt{34}}{5};\frac{-7+4\sqrt{34}}{5}  \right ); E\left (\frac{\sqrt{34}-2}{5};\frac{-1-2\sqrt{34}}{5}  \right )$$

 

 

Ta có phương trình đường thẳng cần tìm:

$$(d):(6-6\sqrt{34})x+(3\sqrt{34}-15)y+81-9\sqrt{34}=0$$

 

 

TRƯỜNG HỢP 2: $(d)$ cắt $AB$ và $BC$

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(d;d+2)$ (với $-1<d<3$),  $(d)$ cắt $BC$ tại $F(f;4f-7)$ (với $1<f<3$)

Tương tự trường hợp 1 ta có:

 

$$\left\{\begin{matrix} d=\frac{27-2\sqrt{106}}{5}\\ f=\frac{15-\sqrt{106}}{7} \end{matrix}\right.$$

Trường hợp này bị loại vì f < 1

 
 

 

 

Đã chấm xong trận này, các toán thủ có 1 ngày để phúc khảo


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh