Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 6 Bình chọn

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

bùi thế việt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 46 trả lời

#1 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 08-04-2013 - 21:07

*
Phổ biến

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 
 
Bùi Thế Việt, lớp 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình
Yahoo: vietpro213tb
 
 
          Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.
I.             Phương trình vô tỷ:
Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:
$$f+k\sqrt{g}=\left( a+{{k}_{1}}\sqrt{{{g}_{1}}} \right)\left( b+{{k}_{2}}\sqrt{{{g}_{2}}} \right)$$
Phương pháp phân tích:
1. Tìm nghiệm của phương trình
2. Ta chia làm hai trường hợp:
a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ
Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau:
VD1: Giải phương trình: $f(x)={{x}^{2}}+1-(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\{ 1 \pm \sqrt{2} \}$
Bước 2: Tại giá trị $x$là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:
$$x=1+\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$
$$x=1-\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$
Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là $\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:
$$f(x)+(x+1)(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2)={{x}^{2}}-2x-1$$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:
$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) ={x}^{2}-2\,x-1$$
Suy ra: $$f(x)=\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}+2 \right)-\left( x+1\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\\f(x)= \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt{{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) - \left( x+1 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) = \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-x+1 \right)$$
Bài giải: Bạn đọc tự giải
Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ. Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:
VD2: Giải phương trình: $$f(x)=5x+7+13\sqrt{x-1}-9\sqrt{x+1}-7\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0$$
Hướng giải: (tương tự VD1)
Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là $S=\frac{20-4\sqrt{7}}{9},\frac{35+9\sqrt{5}}{8}$
Bước 2: Tại $x=\frac{20-4\sqrt{7}}{9}$ thì $\sqrt{x-1}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ và $\sqrt{x+1}=\frac{-1+2\sqrt{7}}{3}$
Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích $f(x)$thành nhân tử thì trong nhân tử đó có dạng $a\sqrt{x-1}+b\sqrt{x+1}+c$với $a,b,c$ là các số nguyên. Do đó, ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa các căn thức: \[\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1=0\]
Tương tự với nghiệm \[x=\frac{35+9\sqrt{5}}{8}\] thì mối liên hệ giữa các căn thức là: $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6=0$
Do đó $f(x)$ chứa các nhân tử $\left( \sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1 \right)$ và $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6$
Bước 4: Nhẩm thấy $f(x)= \left( \sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6 \right)  \left( 2\,\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}+1 \right)$
(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần $f(x)$ thành các cụm chứa nhân tử đó)
Bài giải: Bạn đọc tự giải
b) Nghiệm của phương trình là số nguyên:
TH1: Phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức, biểu thức trong căn có dạng $\sqrt{ax+b}$
Lưu ý: Kể cả khi nghiệm của phương trình là số vô tỷ vẫn có thể áp dụng được phương pháp này.
VD3: Giải phương trình: $f(x)=2{{x}^{2}}-3x+2-x\sqrt{3x-2}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Đặt $t=\sqrt{3x-2} \to x=\frac{t^2+2}{3}$
Bước 2: Thế $x=\frac{t^2+2}{3}$ vào phương trình, ta được:
\[f(x)=2{{\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3} \right)}^{2}}-{{t}^{2}}-\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3}\right)t=\frac{1}{9}(t-1)(t-2)(2{{t}^{2}}+3t+4)\]
Bước 3: Thay ngược trở lại: $t=\sqrt{3x-2}$ và $t^2=3x-2$ vào các nhân tử, ta được:
$$f(x)=\frac{1}{9}\left( \sqrt{3x-2}-1 \right)\left( \sqrt{3x-2}-2 \right)\left( 2\left( 3x-2 \right)+3\sqrt{3x-2}+4 \right)$$
$$f(x)= \frac{1}{9}\,  \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right)  \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right)  \left( 2 \left( 3\,x-2 \right)+3\,\sqrt {3\,x-2}+4 \right)= \frac{1}{3}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right)  \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2\,x+\sqrt {3\,x-2} \right)$$
Từ đó ta có thể phân tích thành nhân tử.
TH2: Phương trình vô tỷ chứa 1 căn thức nhưng biểu thức trong căn thức là đa thức bậc cao.
VD4: Giải phương trình: $f(x)=2\,{x}^{3}+x-2- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$
Nhận xét: Phương trình này khá khó phân tích thành nhân tử vì nó chỉ có nghiệm $x=2$nên căn thức và biến khó có mối liên hệ nào. Do đó, ta sẽ nghĩ tới việc tìm nghiệm phức của phương trình.
Bước 1: Từ giải thiết ta có:
$0=\left( 2\,{x}^{3}+x-2 \right) ^{2}- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) ^{2} \left( {x}^{2}-x-1 \right)= - \left( x-2 \right)  \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right)  \left( 4\,{x}^{3}+4\,{x}^{2}+3\,x+2 \right)$
Ta không quan tâm đến nghiệm $x=2$mà quan tâm đến nhân tử $3x^2-3x+2$.
Bước 2: Nếu $x$ thỏa mãn $3x^2-3x+2=0$ thì khi đó $\sqrt{x^2-x-1}=\frac{\sqrt{15}}{3} i=1-2x$
Do đó $f(x)$ sẽ có nhân tử là $\left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu với nhân tử để làm mất căn thức:
$f(x)+\left(4x^2-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)= -2\,x \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right)$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử tìm được ở bước 2:
$\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) =-3\,{x}^{2}+3\,x-2$
Từ đó ta được:
$f(x)=2x\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}+2x-1 \right)-\left( 4{{x}^{2}}-x+2\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)$$f(x)= 2\,x \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)  \left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) - \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)=\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)  \left( 2\,x\sqrt {{x}^{2}-x-1}-x-2 \right)$
TH3: Phương trình vô tỷ chứa nhiều căn thức và các hệ số là các số nguyên nhỏ
Lưu ý: Trường hợp này cũng áp dụng cho VD2
VD5: Giải phương trình: $f(x)=8{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}-8x-127+73\sqrt{x+1}+39x\sqrt{x-1}=0$
Giả sử sau khi phân tích thành nhân tử, $f(x)$ trở thành:
$\left( a\sqrt {x+1}+b\sqrt {x-1}+c \right)  \left( d\sqrt {x+1}+e\sqrt {x-1}+f \right)$
Do $f(x)$ mất hệ số $\sqrt{x^2-1}$, hệ số của $\sqrt{x-1}$ chỉ là $39x$ , không chứa hệ số tự do nên $b=ux,e=vx$, $du+av=0$, $u,v$ là các số nguyên. Hệ số của $\sqrt{x+1}$ là một số nguyên, $c$ và $f$ cũng là các số nguyên nên $a,d$ là các số nguyên.
Tóm lại là $f(x)$ có dạng: $\left( k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m \right)  \left( t\sqrt {x+1}-tx\sqrt {x-1}+n \right)$
Dễ thấy $x=\frac{5}{4}$ là nghiệm của phương trình nên tồn tại một nhân tử nhận $x=\frac{5}{4}$ làm nghiệm
Nếu \[\left( k\sqrt{x+1}+kx\sqrt{x-1}+m \right)=0\]tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $\frac{17}{8}k+m=0$ hay $m=-\frac{17}{8}k$
Vậy $k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m=k \left( \sqrt {x+1}+x\sqrt {x-1}-{\frac{17}{8}} \right)$
Suy ra $f(x)$ có nhân tử là $\left(8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17\right)$
Dễ dàng phân tích được $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right)  \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$
Nếu $\left( t\sqrt{x+1}-tx\sqrt{x-1}+n \right)=0$ tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $n=-\frac{7}{8}t$
Khi đó $f(x)$ có nhân tử $8\,\sqrt {x+1}-8\,x\sqrt {x-1}-7$
Suy ra nhân tử còn lại là $8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-7$
Thành thử thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right)  \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$
Lưu ý: Cách làm trên chủ yếu dựa vào đánh giá, không khái quát được cách làm, dễ nhầm lẫn. Do đó, ta có thể biến đổi phương trình thành
\[8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=0\]  với $a=\sqrt{x+1},b=x\sqrt{x-1}$
Khi đó $8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=-\left( 8a+8b-17 \right)\left( a-7-b \right)=0$
TH4: Phương trình vô tỷ có nhiều căn thức, có nhiều hơn hai nghiệm hữu tỷ:
Lưu ý: Trường hợp này hiếm gặp
VD: Giải phương trình: $f(x)=11\,x+47-\sqrt {{x}^{2}-1}-6\,\sqrt {x-1}-38\,\sqrt {x+1}=0$
Hướng giải:
Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{ \frac{5}{4},\frac{325}{36} \right\}$
Bước 2: Xét từng giá trị của nghiệm để tìm hai số $a,b$ thỏa mãn:
$\sqrt{x-1}+a\sqrt{x+1}+b=0$
Ta được $a=-\frac{7}{5},b=\frac{8}{5}$
Chứng tỏ có một nhân tử $\left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right)$
Bước 3: Chia đa thức ta được $f(x)= \left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right)  \left( 2\,\sqrt {x-1}+3\,\sqrt {x+1}-2 \right)$
Tóm lại: Việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm được nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm còn giúp ích trong việc giải hệ phương trình, do đó kỹ năng nhẩm nghiệm cũng khá quan trọng.
 
II. Hệ phương trình hệ số nguyên
Sau đây là một phương pháp mới em tự nghĩ ra cho việc giải hệ phương trình với hệ số nguyên. Phương pháp này yêu cầu phải biết trước một vài cặp nghiệm của hệ phương trình và cũng yêu cầu sự chăm chỉ trong việc phân tích thành nhân tử.
 
Để hiểu được phương pháp, ta thử làm một ví 
dụ sau:
VD7: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+3xy-9{{y}^{2}}+23y-17=0 \\  & {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}-6y-3=0\\ \end{align} \right.$$
Hướng giải:
Đặt $a=x^2+3xy-9y^2+23y-17$ và $b=x^2-2xy+3y^2-6y-3$
Cách 1: Từ giả thiết ta có:
$$0=a+b=(x+2y-5)(2x-3y+4)$$
Cách 2: Từ giả thiết ta có:
$$0=33a+59b=(23x+24y-123)(4x-5y+6)$$
Từ các cách trên ta có thể thế $x=my+n$ vào một trong hai phương trình $a=0$ hoặc $b=0$. Lời giải dành cho bạn đọc
Nhận xét: Theo cách 1, nhiều người có thể nghĩ tới việc phân tích nhân tử $a+b$. Tuy nhiên, nếu làm theo cách 2 thì tại sao lại xuất hiện việc phân tích thành nhân tử $33a+59b$, tại sao lại không lấy các hệ số khác mà lại lấy hệ số $(33,59)$? Do đó phương pháp này giúp các bạn tìm các hệ số cần biến đổi để phân tích được thành nhân tử.
Như phương pháp phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp này làm các trường hợp khác nhau:
TH1: Hệ phương trình hai ẩn dạng:
\[\left\{ \begin{matrix}  A={{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}{{y}^{2}}+{{c}_{1}}xy+{{d}_{1}}x+{{e}_{1}}y+{{f}_{1}}=0  \\B={{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{y}^{2}}+{{c}_{2}}xy+{{d}_{2}}x+{{e}_{2}}y+{{f}_{2}}=0  \\\end{matrix} \right.\]
Ta cần tìm hệ số $k$ sao cho $A+kB$ có thể phân tích thành nhân tử .
Cách 1: Đặt $$a={{a}_{1}}+k{{a}_{2}},b={{b}_{1}}+k{{b}_{2}},c={{c}_{1}}+k{{c}_{2}},$$
$$a=a_1+ka_2,b=b_1+kb_2,c=c_1+kc_2,d=d_1+kd_2,e=e_1+ke_2,f=f_1+kf_2$$
Khi đó $k$ là nghiệm của phương trình sau với $a \neq 0$
$$(cd-2ae)^2=(c^2-4ab)(d^2-4af)$$
hoặc có thể viết gọn hơn thành:
$$cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$$
 
Cách 2: Tìm ít nhất hai cặp nghiệm của hệ phương trình, giả sử đó là $(x,y)=(m,n);(p,q)$
Khi đó hai điểm $(m,n);(p,q)$ thuộc đường thẳng $\left( n-q \right) x- \left( m-p \right) y+mq-np=0$
Cho $(a,b)$ là một điểm khác $(x,y)=(m,n);(p,q)$thuộc đường thẳng này. Khi đó, tại $(x,y)=(a,b)$ thì $A=A_1,B=B_1$ là các hằng số. Vậy $k=-\frac{{{A}_{1}}}{{{B}_{1}}}$
VD8: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{matrix}   {{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-6xy+x-3y-624=0  \\   21{{x}^{2}}-24{{y}^{2}}-30xy-83x+49y+585=0  \\\end{matrix} \right.$$
Hướng giải:
a) Theo cách 1 thì $k$ là nghiệm của phương trình: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$
Với $a=1+21k,b=8-24k,c=-6-30k,d=1-83k,e=-3+49k,f=-624+585k$
Ta được $(9k-11)(31k-1)(5265k-227)=0$
Từ đó ta được 3 cách làm cho bài toán này.
 
b) Theo cách 2, ta tìm trước các nghiệm của hệ phương trình:
$$\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right);\left( -\frac{131}{72},\frac{1201}{144} \right)$$
Chọn hai cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là:
$26x-56y-507=0$
Do đó, điểm $\left( \frac{39}{2},0 \right)$ thuộc đường thẳng này. Tại điểm này thì $A=-\frac{897}{4}$, $B=\frac{27807}{4}$
Vậy $k=-\frac{A}{B}=\frac{1}{31}$
Tức là phân tích thành nhân tử đa thức$31A+B$, ta được $(2x-4y+37)(26x-56y-507)=0$
Lưu ý: Theo cách 2 thì sau khi tìm được $k$ và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm nghiệm thì sau khi phân tích thành nhân tử, sẽ có một nhân tử chính là phương trình đường thẳng đó.
 
TH2: Hệ phương trình hai ẩn hệ số nguyên có dạng khác TH1
Ở đây, hệ số $k$ cần nhân thêm vào không phải là một hằng số mà là một biểu thức chứa biến.
Cách làm sẽ có một số sự khác biệt so với TH1. Hãy xem cách làm một bài hệ phương trình sau đây, nó sẽ khiến một bài Hệ phương trình có khá nhiều cách làm.
 
VD9: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0\end{matrix}\right.$$
Hướng giải:
Đặt $a=3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0$$b=2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0$.
 
Bước 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình, cần ít nhất là hai bộ nghiệm hữu tỷ hoặc một bộ nghiệm vô tỷ.
Phương trình trên có 2 cặp nghiệm dễ thấy nhất là $(x,y)=(0,0);(2,-1)$
Ngoài ra còn các cặp nghiệm $(10,15);\left( \frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{145} \right);$
$(10,15);\left(\frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{145} \right); \left(\frac{15-\sqrt{145}}{2},11-\sqrt{145}\right)$
Bước 2: Chọn 2 cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $(x,y)=(0,0);(2,-1)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là $x+2y=0$
Tại $x=-2y$ thì $a=9y(y+1)$ và $b=-20y(y+1)(y-1)$
Vậy để sau khi phân tích thành nhân tử có nhân tử là $(x+2y)$ thì cần lấy $20(y-1)a+9b=0$ rồi phân tích thành nhân tử.
Tức là $20(y-1)a+9b$
$20(y-1)a+9b= \left( x+2\,y \right)  \left( 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y \right)$
Bước 3: Xét hệ mới:
$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y=0\end{matrix}\right.$
 
Theo TH1 ta sẽ tìm được các cách khác nhau để phân tích nhân tử hệ mới này.
 
Nhận xét: Với mỗi 2 cặp nghiệm, ta có được khoảng 3 cách cho mỗi trường hợp. Do đó bài toán trên có khoảng hơn 10 cách làm, nhưng hầu hết cách làm đều giống nhau. Với những cách làm kiểu như này, khá khó khăn cho người chấm thi, và cũng khá khó khăn cho cả người làm bài vì dễ viết sai. Tuy nhiên, phương pháp này có thể giải quyết được nhiều hệ phương trình hệ số nguyên. Xét ví dụ sau:
VD10: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4-240=0\\ x^3-2y^3-3(x^2-4y^2)+4(x-8y)=0\end{matrix}\right.$
Hướng giải: Gọi $a$ là VT của PT(1)
$b$ là VT của PT(2). Dễ thấy hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên theo phương pháp thì chúng ta nghĩ tới việc cho $x=2y$,từ đó lấy $5(y^2+4)a-2yb=0$. Tuy nhiên, cách này khá dài, không khả quan vì hai phương trình không chứa hệ số xy. Ta sẽ đặt $x=\pm y+k$ để PT(1) giảm bậc xuống còn bậc 3, PT(2) vẫn là bậc 3, thuận tiện trong việc tìm hệ số $k$ là một hằng số chứ không phải là một biểu thức nữa. Do hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên ta tìm được nhân tử là $(x+y-6)$hoặc $(x+y+6)$
Tại $x=6-y$ thì $a=-24(y-2)(y^2-7y+22)$
Và $b=-3(y-2)(y^2-7y+22)$
Duy ra $k=-8$
Vậy lấy $PT(1)-8PT(2)$ ta được:
$(x+y-6)(x-y+2)((x-2)^2+(y-4)^2)=0$
Còn tại $x=-6-y$ thì $a=24(y+2)(y^2+7y+22)$ và $b=-3(y+2)(y^2+y+58)$
Khi đó $k$ không phải là hằng số nên loại
Vậy ta có thể phân tích nhân tử bằng cách trên.
 
VD11: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2y^2+3x+3y-3=0\\ x^2y-4xy-3y^2+2y-x+1=0\end{matrix}\right.$
Hướng giải: 
Gọi a, b là VT của PT(1), PT(2)
Dễ thấy HPT có nghiệm $(x,y)= (0,1) ; (1,0)$ nên ta nghĩ tới việc thay $x=1-y$
Tại $x=1-y$ thì $a=y^2(y-1)^2$ và $b=y^2(y-1)$. Do đó $k=1-y$
Vậy ta phân tích thành nhân tử đa thức: $a+(1-y)b$, ta được:
$(x+y-1)(3y^2+xy-2y+2)=0$
Xét hệ mới:
$\left\{ \begin{matrix}  3y^2+xy-2y+2=0  \\   {{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=0 \\\end{matrix} \right.$
Trong các nghiệm của HPT này, có một cặp nghiệm mà ta phải để ý tới:
$(x,y)=\left(3,\frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{6}\right)$
 
Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm này là $x=3$. Tại $x=3$ thì HPT trở thành 2 PT bậc 2 nên ta cho $y=0$ (hoặc bao nhiêu cũng được), khi đó $3y\hat{\ }2+xy-2y+2=2$và ${{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=-2$. Từ đó $k=1$, nên cộng 2 PT này với nhau, ta được: $(x-3)(xy-1)=0$
__________________________________________
Nhớ like nha !!!

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 08-04-2013 - 21:26

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#2 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 09-04-2013 - 00:20

*
Phổ biến

Đây là file pdf ...

File gửi kèm


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#3 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-04-2013 - 20:19

phương pháp trên khá khóáp dụng trong trườnghợp nghiệm vô tỉ vì sẽ rất khó để tìm đc nghiệmdạngnày VD: $1+\sqrt{39}$

 

nêếunhư trên thì làmsao


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-12-2014 - 15:59
Trích dẫn quá dài

 B.F.H.Stone


#4 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 10-04-2013 - 21:39

phương pháp trên khá khóáp dụng trong trườnghợp nghiệm vô tỉ vì sẽ rất khó để tìm đc nghiệmdạngnày VD: $1+\sqrt{39}$

nêếunhư trên thì làmsao

 

Ồ, bạn không biết rồi ...

Một bài PT, HPT mà có nghiệm vô tỉ thì sẽ làm rất rất nhanh so với nghiệm hữu tỉ

Mình chỉ thích nghiệm vô tỷ thôi


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#5 snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN TPHCM
  • Sở thích:Nuôi cá vàng

Đã gửi 13-04-2013 - 20:52

ý nthoangcute là mấy cái nghiệm chẳn kia chỉ là trò con nít, fang mấy nghiệm khủng bố cho nó oai....... đúng ý tớ thiệt nhẩm ra nghiệm chẳn thì còn làm gì nữa, nói chung số càng khủng thì càng thích



#6 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 14-04-2013 - 00:00

ý nthoangcute là mấy cái nghiệm chẳn kia chỉ là trò con nít, fang mấy nghiệm khủng bố cho nó oai....... đúng ý tớ thiệt nhẩm ra nghiệm chẳn thì còn làm gì nữa, nói chung số càng khủng thì càng thích

 

Trời ơi, tóm lại là thử một VD sau:

 

Trong một ngày đẹp trời, trời xanh mây trắng, gió thổi vi vu bay qua tán lá của ngày hè, bạn A nổi hứng làm bài PT vô tỷ hệ số nguyên có chứa một căn thức. Sau một hồi dùng CASIO, bạn ấy thấy rằng có nghiệm $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ của phương trình, căn thức duy nhất của phương trình là $\sqrt{5x^2-4x-1}$
Sau khi thử nghiệm $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ vào căn thức: $\sqrt{5x^2-4x-1}$, thấy $\sqrt{5x^2-4x-1}=\sqrt{x^2+4x^2-4x-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}=x$
Chứng tỏ $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ là nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-4x-1}-x=0$

Chứng tỏ phương trình luôn có nhân tử là $(\sqrt{5x^2-4x-1}-x)$
Tuy nhiên, bạn A gặp một bài khác, nhận được nghiệm nguyên: $x=1$ với căn thức là $\sqrt{x^2-x+4}$
Bạn ấy thấy rằng: Tại x=1 thì $\sqrt{x^2-x+4}=2$. Liệu có nhân tử $(\sqrt{x^2-x+4}-2)$ ???

Thử biến đổi một hồi, mãi không thể phân tích được. Bí quá, bạn liền tìm nghiệm nữa ...

1 giây, 2 giây, 5 giây, ... hoặc lâu hơn nữa ...

Cuối cùng, bạn A thấy nghiệm $x=4$ cũng là nghiệm của phương trình

Thế vào: $\sqrt{x^2-x+4}=4$

Không được, bạn nhìn lại vào phương pháp phân tích thành nhân tử của mình ...

Ôi, hóa ra là nhân tử $(3\sqrt{x^2-x+4}-2x+4)=0$

Vậy là bạn A nhanh chóng tìm được lời giải ...

__________________________
Giờ tính sao ...


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#7 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 16-04-2013 - 02:12

Dù thế nào thì phương pháp này ít nhiều cũng giúp ích được cho chúng ta (bí quá làm thôi) nên mọi người cũng nên tôn trọng nthoangcute, đừng chỉ trích bạn ấy nữa  :icon6: 


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 29-04-2013 - 22:21

Em vẫn băn khoăn là các ví dụ trên sao anh nthoangcute tìm ra được nghiệm vô tỷ vậy ??

Anh có thể hướng dẫn em cách tìm nghiệm không ? :D


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#9 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 01-05-2013 - 11:01

Em vẫn băn khoăn là các ví dụ trên sao anh nthoangcute tìm ra được nghiệm vô tỷ vậy ??

Anh có thể hướng dẫn em cách tìm nghiệm không ? :D

 

Haizzz, chắc phải nêu trước cái này: http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

_____________
Đọc xong chắc hiểu ...


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#10 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 01-05-2013 - 15:50

Anh ơi, với dạng bài như $x+2 \sqrt{3x+1}= 5\sqrt{5x^2-3x-1}$ thì hướng phân tích thành nhân tử như thế nào anh ?


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#11 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 02-05-2013 - 19:03

Anh ơi, với dạng bài như $x+2 \sqrt{3x+1}= 5\sqrt{5x^2-3x-1}$ thì hướng phân tích thành nhân tử như thế nào anh ?

 

Ý tưởng nhé:
Trước tiên, vẫn là mò nghiệm. Cái này thì trong thủ thuật " Giải toán bằng CASIO" có rồi, không nhắc lại nữa:
Nghiệm là: $1$ và $\frac{2523-29 \sqrt{22945}}{7688}$
Như đã nói, nghiệm vô tỷ luôn đưa ra lời giải nhanh nhất

Tuy nhiên, một số người không tin...

 

mình thì không thấy thế, mình thấy các bài toán vô tỷ lằng nhằng hơn nhiều

 

_________________________________
Thôi, trở lại vấn đề vậy, ai không tin thì mặc họ ...

Tại $x=\frac{2523-29 \sqrt{22945}}{7688}$ thì $\sqrt{3x+1}+\frac{62}{29} x=0$ và $\sqrt{5x^2-3x-1}+\frac{19}{29} x=0$
Tuy nhiên, 2 nhân tử này độc lập, không đồng bậc, giả sử có phân tích thành $a\sqrt{5x^2-3x-1}+b \sqrt{3x+1}+c=0$ thì cũng vất vả không kém

Do đó ta nhân liên hợp. Tuy nhiên trong bài thi, ta nên làm như sau:
Đặt $a=\sqrt{3x+1}$ và $b=\sqrt{5x^2-3x-1}$. Giả thiết có $x+2a-5b=0$
Ta thấy $x+2a-5b=2\left(a+\frac{62}{29} x\right)-5\left (b+\frac{19}{29} x \right)$
Suy ra $$\left( {\frac {3844}{841}}\,{x}^{2}-3\,x-1 \right) \left( \frac{5}{b-\frac{19}{29} x}-\frac{2}{a-\frac{62}{29} x}\right)=0$$

Nếu ${\frac {3844}{841}}\,{x}^{2}-3\,x-1=0$ thì ok rồi

Nếu $ \frac{5}{b-\frac{19}{29} x}-\frac{2}{a-\frac{62}{29} x}=0$ thì $145a-58b=272x$ mà $x+2a-5b=0$

Suy ra $a=\frac{1418}{609} x$
Suy ra OK
Hướng làm thì như thế ... PHương pháp này giúp ích khá nhiều trong việc nhân liên hợp biểu thức ...


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#12 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 02-05-2013 - 20:27

Sao em bấm máy thì nó chỉ hiển thị nghiệm là $1$ mà không hiển thị nghiệm vô tỷ như anh nói anh nhỉ ?? Khi đó ta phải làm sao để có nghiệm đó anh ?

Em cũng nhờ anh giải đáp cho luôn: Em đã đọc bài "Nhẩm nghiệm..." của anh, phải nói là rất hay!! Tuy nhiên, em vẫn không hiểu về việc tìm nghiệm cho phương trình vô tỷ. Em thấy nếu em nhập vào máy giải một phương trình vô tỷ nhưng đáp án hiện ra không phải là kết quả đẹp mà là số thập phân vô hạn. Như thế thì em phải làm thế nào để tìm được nghiệm đẹp như anh đã tìm (chẳng hạn như $\frac{20-4 \sqrt 7}{9}$). Mong anh giải đáp giúp em.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-05-2013 - 20:31

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#13 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 02-05-2013 - 20:56

Sao em bấm máy thì nó chỉ hiển thị nghiệm là $1$ mà không hiển thị nghiệm vô tỷ như anh nói anh nhỉ ?? Khi đó ta phải làm sao để có nghiệm đó anh ?

Em cũng nhờ anh giải đáp cho luôn: Em đã đọc bài "Nhẩm nghiệm..." của anh, phải nói là rất hay!! Tuy nhiên, em vẫn không hiểu về việc tìm nghiệm cho phương trình vô tỷ. Em thấy nếu em nhập vào máy giải một phương trình vô tỷ nhưng đáp án hiện ra không phải là kết quả đẹp mà là số thập phân vô hạn. Như thế thì em phải làm thế nào để tìm được nghiệm đẹp như anh đã tìm (chẳng hạn như $\frac{20-4 \sqrt 7}{9}$). Mong anh giải đáp giúp em.

 

Vấn đề này thuộc phần topic bên kia.

Còn phần tìm nghiệm, hãy dùng casio tìm là một nghiệm gần đúng của PT (VD: $\frac{20-4 \sqrt 7}{9}$)
Tìm tiếp vài nghiệm nữa khác với nghiệm kia, thử xem có cái nào nó gần đúng $\frac{20+4 \sqrt 7}{9}$ thì ta có thể viết được số vô tỷ của chúng


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#14 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 02-05-2013 - 21:02

Vấn đề này thuộc phần topic bên kia.

Còn phần tìm nghiệm, hãy dùng casio tìm là một nghiệm gần đúng của PT (VD: $\frac{20-4 \sqrt 7}{9}$)
Tìm tiếp vài nghiệm nữa khác với nghiệm kia, thử xem có cái nào nó gần đúng $\frac{20+4 \sqrt 7}{9}$ thì ta có thể viết được số vô tỷ của chúng

Em... chưa hiểu lắm anh à  :( .

Anh có thể lấy một ví dụ minh họa việc tìm nghiệm vô tỷ được không anh ?


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#15 thanhdatpro16

thanhdatpro16

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết

Đã gửi 02-05-2013 - 21:48

Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là $\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)$
Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:
$$f(x)+(x+1)(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2)={{x}^{2}}-2x-1$$
Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:
$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) ={x}^{2}-2\,x-1$$
Suy ra: $$f(x)=\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}+2 \right)-\left( x+1\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\\f(x)= \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt{{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) - \left( x+1 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) = \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-x+1 \right)$$

Bạn ơi tại sao lại như thế vậy bạn, bạn giải thích rõ hơn  được không?



#16 thanhdatpro16

thanhdatpro16

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết

Đã gửi 06-05-2013 - 12:23

VD8: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{matrix}   {{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-6xy+x-3y-624=0  \\   21{{x}^{2}}-24{{y}^{2}}-30xy-83x+49y+585=0  \\\end{matrix} \right.$$
Hướng giải:
a) Theo cách 1 thì $k$ là nghiệm của phương trình: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$
Với $a=1+21k,b=8-24k,c=-6-30k,d=1-83k,e=-3+49k,f=-624+585k$
Ta được $(9k-11)(31k-1)(5265k-227)=0$
Từ đó ta được 3 cách làm cho bài toán này.
 
b) Theo cách 2, ta tìm trước các nghiệm của hệ phương trình:
$$\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right);\left( -\frac{131}{72},\frac{1201}{144} \right)$$
Chọn hai cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là:
$26x-56y-507=0$
Do đó, điểm $\left( \frac{39}{2},0 \right)$ thuộc đường thẳng này. Tại điểm này thì $A=-\frac{897}{4}$, $B=\frac{27807}{4}$
Vậy $k=-\frac{A}{B}=\frac{1}{31}$
Tức là phân tích thành nhân tử đa thức$31A+B$, ta được $(2x-4y+37)(26x-56y-507)=0$
 
 

Bạn ơi sau khi lấy 31A+B ta được $52x^2+224y^2-186xy-52x-44y-18759=0$ thì làm sao phân tích về $(2x-4y+37)(26x-56y-507)$ được vậy? Mình thấy cái này cũng khó như việc tìm k ấy?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatpro16: 06-05-2013 - 12:24


#17 nguyenxuanthai

nguyenxuanthai

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 08-05-2013 - 15:38

Tìm nghiệm của phương trình thì mình còn biết ( nhét phương trình vào máy tính rồi tìm ), chứ tìm nghiệm của hệ phương trình thì tìm như thế nào hả bạn? Có phải là rút $y$ theo $x$ rồi thế vào phương trình còn lại không? ( lắm hệ không rút được đâu). Hay là dùng phần mềm gì vậy bạn?



#18 nguyenxuanthai

nguyenxuanthai

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 08-05-2013 - 15:43

Bạn ơi sau khi lấy 31A+B ta được $52x^2+224y^2-186xy-52x-44y-18759=0$ thì làm sao phân tích về $(2x-4y+37)(26x-56y-507)$ được vậy? Mình thấy cái này cũng khó như việc tìm k ấy?

Cách 1: Bạn có thể dùng lược đồ Hooc - ne để phân tích thành nhân tử.

Cách 2: bí quá thì bạn có thể chia: lấy đa thức $ 52x^2+224y^2-186xy-52x-44y-18759=0$ chia cho đa thức mà bạn đã tìm được đó: $ (26x-56y-507)$



#19 thanhdatpro16

thanhdatpro16

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết

Đã gửi 08-05-2013 - 21:39

Cách 1: Bạn có thể dùng lược đồ Hooc - ne để phân tích thành nhân tử.

Cách 2: bí quá thì bạn có thể chia: lấy đa thức $ 52x^2+224y^2-186xy-52x-44y-18759=0$ chia cho đa thức mà bạn đã tìm được đó: $ (26x-56y-507)$

Hic, khổ nỗi mình làm theo cách tìm k bằng cách giải phương trình cde+4abf=.... gì đó. Sau khi tìm được k thì cộng vào sau lại không làm được gì luôn, chứ biết được 1 nhân tử thì may quá!



#20 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 09-05-2013 - 22:25

Cho mình hỏi khi tìm nghiệm của pt vô tỉ có nghiệm vô tỉ bằng máy tính nó sẽ hiện số thập phân vô hnj không tuần hoàn thì làm sao biết chính xác nghiệm đó bằng bao nhiêu được?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 19-05-2013 - 12:23

:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh