Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=\sqrt{3};x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}$. Tìm $a\in \mathbb{R}$ để dãy số $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ hội tụ.
Tìm $a\in \mathbb{R}$ để dãy số $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ hội tụ.
#1
Đã gửi 09-04-2013 - 23:01
- PRONOOBCHICKENHANDSOME và demonhunter000 thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 17-01-2017 - 15:00
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=\sqrt{3};x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}$. Tìm $a\in \mathbb{R}$ để dãy số $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ hội tụ.
Hiển nhiên, $\lim x_n=\infty.$ Do đó $a>1.$
Gọi $a$ là một số thực sao cho $\lim \frac{x_n}{a^n}$ tồn tại.
Đặt $b= \lim \frac{x_n}{a^n}\ge 0.$
Ta có
$$ 3x_n\le x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}\le 3x_n+2.\quad \quad\quad (***)$$
Do đó
$x_n \ge 3^n.$ Suy ra $a\ge 3.$
Hiển nhiên nhờ BĐT (***), ta thấy $a=3$ thỏa.
Suy ra với mọi a\ge 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 17-01-2017 - 15:05
Đời người là một hành trình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh