Chủ đề này có 1 trả lời

[luuly1196]

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.

a) Chứng minh tam giác SBC vuông.

b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBH).

c) Cho AB=a, BC=2a, SA=3a. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC).

[MIM]

 

$a)$ Ta có: $\left\{\begin{matrix} SA\perp BC\\ AB\perp BC \end{matrix}\right.\Rightarrow (SAB)\perp BC\Rightarrow SB\perp BC$ 

 

nên $SBC$ vuông tại $B.$

 

$b)$ $\left\{\begin{matrix} AC\perp BH\\ SA \perp BH\end{matrix}\right.\Rightarrow BH\perp (SAC)$

Mà $BH\subset (SBH)$ nên $(SAC)\perp (SBH)$

 

$c)$ Trong tam giác vuông $ABC,$ $BH$ là đường cao nên

$\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}$

 

$\Rightarrow BH=\frac{2a}{\sqrt{5}}$

 

Trong tam giác vuông $BHC,$ $HC=\sqrt{BC^2-HB^2}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$

 

$S_{\bigtriangleup BHC}=\frac{1}{2}BH.HC=\frac{4a^2}{5}$

 

$V_{SHBC}=\frac{1}{3}SA.S_{\bigtriangleup BHC}=\frac{1}{3}.3a.\frac{4a^2}{5}=\frac{4a^3}{5}$

 

Trong tam giác vuông $SAB:$ $SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{10}$

 

$S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{1}{2}.SB.BC=a^2\sqrt{10}$

 

$V_{HSCB}=\frac{1}{3}.d(H,(SBC)).S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{a^2.d(H,(SBC))\sqrt{10}}{3}$

 

Mà $V_{SHBC}=V_{HSCB}\Rightarrow \frac{4a^3}{5}=\frac{a^2.d(H,(SBC))\sqrt{10}}{3}$

 

$\Rightarrow d(H,(SBC))=\frac{12a}{5\sqrt{10}}$