Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 9 Bình chọn

[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (101 - 200)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-04-2013 - 16:17

Chào các bạn,

BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng  @};- là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường. Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.


$\boxed{\text{Bài toán 101}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O,R)$.Gọi $Q$ là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác, $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $(O)$ với $QA,QB,QC$. ($Q$ là trung điểm $HO$ với $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$). Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$$
 
Chứng minh rằng nếu $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn
$$f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x), \forall x \in \mathbb{R}$$
thì $f(x)$ không có nghiệm thực.

 

$\boxed{\text{Bài toán 103}}$

Cho tam giác $ABC$, ba đường cao là $AD;BE;CF$ Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ ở $G$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AD$ ở $H$
C/m $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$

 

$\boxed{\text{Bài toán 104}}$

Hãy tìm thể tích của vật tròn xoay có được khi quay quanh trục $Oy$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\cos x}{x}$, các đường thẳng $x = \frac{\pi}{6},x=\frac{\pi}{2}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 105}}$

Một đường cao của một tứ giác lồi là đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đối.Chứng minh rằng bốn đường cao đồng quy khi và chỉ khi tứ giác là nội tiếp.

 

$\boxed{\text{Bài toán 106}}$

Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12h thì xong. Hj làm chung với nhau được 8h thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ 2 cứ tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong công việc trong 3h20'. Hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao nhiêu lâu để làm xong công viêc nói trên ?

 

$\boxed{\text{Bài toán 107}}$ @};-

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.

 

$\boxed{\text{Bài toán 108}}$ @};-

Cho $a_1,a_2,...,a_n$ là các số tự nhiên khác nhau đôi một. Tìm tất cả các bộ $n+1$ số tự nhiên $(x_1,x_2,...,x_n,y)$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n)=1$ và

$$\left\{\begin{matrix}(x_1,x_2,...,x_n)&=1\\ a_2x_1+a_3x_2+...+a_nx_{n-1}+a_1x_n&=yx_2\\ .........................\\ a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n&=yx_n\end{matrix}\right.$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 109}}$

Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. 
Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là $AA',BB',CC'$. Tìm min, max của
$$AA'+BB'+CC'$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 110}}$

Giải phương trình:

$$5^{cos^2x} + 2^{sin^2x} = 4$$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 02-07-2013 - 21:48

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-05-2013 - 16:47

$\boxed{\text{Bài toán 111}}$

Cho $a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$. Chứng minh $sina,sinb,sinc$ là các cạnh của một tam giác.

 

$\boxed{\text{Bài toán 112}}$ @};-

Cho 100 số thực dương thỏa mãn điều kiện:

i) $\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000$
ii) $ \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300$
Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số có tổng không nhỏ hơn 100.

 

$\boxed{\text{Bài toán 113}}$ @};-

Cho tứ diện $SABC$ có $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$$\widehat{ASB}+\widehat{BSC}+\widehat{CSA}\geq \widehat{ASM}+\widehat{BSM}+\widehat{CSM}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 114}}$ @};-

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:
$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$
Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 115}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm $MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng $AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 116}}$

Trong các số

$$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$

có bao nhiêu số chẵn?

 

$\boxed{\text{Bài toán 117}}$ @};-

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $M$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho tam giác $ADM$ và tứ giác $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Chứng minh rằng hai cạnh nào đó của tứ giác $ABCD$ có cùng độ dài.

 

$\boxed{\text{Bài toán 118}}$

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=4 \\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3=10\end{array}\right.$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 119}}$ @};-

Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Với $M$ thuộc miền tứ giác $ABCD$, $MG$ cắt mặt bên của hình chóp tại $N$. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
$$Q = \frac{MG}{NG}+\frac{NG}{MG}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 120}}$ @};-

Tìm tất cả các số thực dương $a$ và $b$ sao cho tồn tại hàm số $f$  thỏa mãn:

 $$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)}  \right )=x+b, \forall x  > 0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 02-07-2013 - 21:48

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 22:13

$\boxed{\text{Bài toán 121}}$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.
 
$\boxed{\text{Bài toán 122}}$
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7 \end{matrix}\right.$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 123}}$ $\square$
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thuộc miền trong của tam giác. Các đường thẳng $AM;BM;CM$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $A',B',C'$. Gọi $r$ và $r'$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$, còn $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Chứng minh rằng:
$$4rr'\le R^2-OM^2$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 124}}$ $\square$

Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
$$A= \dfrac{n}{ (1,1)^{n} }; B= \dfrac{ n^{2} }{ (1,1)^{n} }$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 125}}$ @};- $\square$
Tính :
$$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 126}}$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho lục giác $ABCDEF$ với các đỉnh $A(0,0),B(n,0),C(n,m),D(n-1,m),E(n-1,1),F(0,1)$ đã được phân hoạch thành $n+m-1$ hình vuông đơn vị với các đỉnh có tọa độ nguyên. Tìm số các đường đi từ $A$ đến $C$ dọc theo các đường lưới, qua mỗi nút lưới không quá một lần.
 
$\boxed{\text{Bài toán 127}}$
Cho hai đường tròn ngoài nhau$(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt đường tròn (O) tại $4$ điểm. Gọi $B,C$ là $2$ trong $4$ điểm đó sao cho $B,C$ nằm về 1 phía với $O_{1}O_{2}$. Chứng minh rằng $BC$ song song với một tiếp tuyến chung ngoài của $(O_{1})$ và$(O_{2})$
 
$\boxed{\text{Bài toán 128}}$
Cho $2n$ giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một bộ $3$ đỉnh của đa giác được gọi là nằm cùng phía nếu $3$ điểm đó nằm trên cùng một nửa đường tròn tâm $O$. Hãy tìm số cách chọn ra $3$ đỉnh phân biệt sao cho cả $3$ đỉnh này nằm cùng phía
 
$\boxed{\text{Bài toán 129}}$
 

1) Cho $P(x);Q(x)$ là các đa thức hệ số thực và dãy số $\{a_n \}:a_n=n!+n$.Chứng minh rằng:Nếu biểu thức $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ là 1 số nguyên vối mọi $n$ thì thương $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ cũng là 1 số nguyên vối mọi $n$ thỏa mãn:$Q(n) \neq 0$.

2) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn:
$$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 130}}$ @};-
Tìm $x,y$ dương sao cho:
$$\frac{x+y}{2};\sqrt{xy};\dfrac{2xy}{x+y};\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$
có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 17:06

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-08-2013 - 21:01

$\boxed{\text{Bài toán 131}}$

Trong không gian cho mặt cầu $S(O,R)$ và $A,B,C$ là ba điểm cố định cho trên mặt cầu. Xét điểm $D$ di chuyển trên $(S)$ nhưng không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M,N,P,Q$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $DAB,DBC,DCA,MNP$. Tìm quỹ tích điểm $Q$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 132}}$

Cho trước số $k > 0$ và $ a;b;c>0, a^2+b^2+c^2=1$. Đặt

$$f(a,b,c)= \dfrac{a}{b^k+c^k} +\dfrac{b}{c^k+a^k} + \dfrac{c}{a^k+b^k}$$

Hãy tìm GTNN của $f(a,b,c)$
1/ Giải bài toán khi $k$ nguyên dương chẵn
2/ Giải bài toán khi $k > 0$.
3/ Có GTLN của $f(a,b,c)$ không?

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 133}}$

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,M$ thuộc tam giác. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ cắt $BC$ tại $A'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BM$ cắt $CA$ tại $B'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $CM$ cắt $AB$ tại $C'$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 134}}$

Giải phương trình:

$$2\sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 135}}$

Chia 100 số tự nhiên đầu tiên thành $m$ tập hợp. Hãy tìm $m$ lớn nhất sao cho mỗi tập hợp đó đều chứa ít nhất 1 bộ số Pythagore

 

$\boxed{\text{Bài toán 136}}$

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn

 

$\boxed{\text{Bài toán 137}}$

Cho tứ diện $SABC$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý trong đáy $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA;SB;SC$. Các đường đó lần lượt cắt các mặt $SBC ; SAC ; SAB$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $V_1$ là thể tích tứ diện $M.A_1B_1C_1$. Hãy chứng minh:
$$V_1 \leq \dfrac{1}{27}V$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 138}}$

Cho: $a, b, c > 0; a = max \{ a, b, c \}$.
Tìm Min:

$$S = \dfrac{a}{b} + 2.\sqrt{1 + \dfrac{b}{c}} + 3.\sqrt[3]{1 + \dfrac{c}{a}}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 139}}$

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $T$. Môt đường thẳng tiếp xúc với $(I)$ tại $X$ cắt $(O)$ tại các điểm $A$ và $B$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ với $XT$. Trên cung $TS$ không chứa $A$ và $B$ chọn môt điểm $C$. Gọi $CY$ là tiếp tuyến từ $C$ đến $(I)$ với $Y$ thuộc $(I)$ sao cho đoạn $CY$ không cắt đoạn $ST$. Gọi $E$ là giao điểm của $XY$ và $SC$. Chứng minh $E$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ tam giác $ABC$

 

$\boxed{\text{Bài toán 140}}$

Tim: $\lim_ {x\to{1}}{\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}}$


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-09-2013 - 09:43

$\boxed{\text{Bài toán 141}}$ @};-
Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn $G$ ta có
$$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$$
trong đó $g(G)$ và $f(G)$ lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong $G$


$\boxed{\text{Bài toán 142}}$
Giải phương trình : $x^3 +17x^2 -25x-209=0$

$\boxed{\text{Bài toán 143}}$
Cho hai parabol có phương trình $y^2 = 2px$ và $y=ax^2+bx+c$. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.

$\boxed{\text{Bài toán 144}}$ @};-
Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$$u_1=1;u_2=2;u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^3 -1}{u_{n-1}}$$.
Tìm số hạng tổng quát của dãy?

$\boxed{\text{Bài toán 145}}$
Cho hình vuông $ABCD$.Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ bất kì, $AM$ cắt $CD$ tại $N$. Hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại $O$, $OM$ cắt $BN$ tại $P$. Chứng minh rằng $CP$ vuông góc với $BN$.

$\boxed{\text{Bài toán 146}}$
Tìm giới hạn
$$P =\lim _{n \to +\infty } \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sin ^n x}}{x}dx}$$

$\boxed{\text{Bài toán 147}}$
Cho ba số thực $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c = 2\sqrt3$ và $a^2,b^2,c^2$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$$\sum \sqrt{7(a^{3}+b^{3})+11ab} \geq 10\sqrt{3}$$

$\boxed{\text{Bài toán 148}}$
Giải hệ sau với $a,b,c$ là các hằng số
$$ \dfrac{xy}{ay+bx} = \dfrac{yz}{cz+by}= \dfrac{zx}{ax+cz}= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$$

$\boxed{\text{Bài toán 149}}$
Cho $P_1 P_2......P_7$ là bảy điểm trong không gian trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng.Tô màu mỗi đoạn $P_iP_j,(i<j)$ với một trong hai màu đỏ hoặc đen. Chứng minh rằng có hai tam giác đơn sắc không có chung cạnh .
Điều này có đúng không nếu có 6 điểm ?

$\boxed{\text{Bài toán 150}}$
Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG,BG,CG$ gặp lại đường tròn tại $D,E,F$ tương ứng. Chứng minh rằng
$$\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$$


:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-10-2013 - 00:05

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-10-2013 - 23:59

$\boxed{\text{Bài toán 151}}$

Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại một bội $a(n)$ của $2^n+1$ sao cho: $a(n)$ có đúng $n$ số $1$, và $n$ số $1$ này đứng liên tiếp.
Ví dụ: Có thể chọn

$$a(1)=12; a(2)=110; a(3)=456111$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 152}}$

Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$.Tìm quỹ tích điểm $K$

 

$\boxed{\text{Bài toán 153}}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 154}}$

Chứng minh rằng: Tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.

 

$\boxed{\text{Bài toán 155}}$

Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$  và hạ $AF \perp SC$.

a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.

b) Chứng tỏ rằng: năm điểm $A, B, C, D, F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$

 

$\boxed{\text{Bài toán 156}}$

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,k,n$ thỏa mãn phương trình:

$$(x!)^k+(y!)^k=(k+1)^n \cdot (n!)^k$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 157}}$

Tìm $m$ để GTLN của

$$y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$$

là nhỏ nhất.

 

$\boxed{\text{Bài toán 158}}$

Tính tích phân

$$\int_{0}^{1} \dfrac{ln(1+x)dx}{x^2 +1}$$

 

 

Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là 2 gồm có 8 khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với 1 lập phương đơn vị được bỏ ra là 1 "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị.

 

CMR: nếu 1 lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".

 

$\boxed{\text{Bài toán 160}}$

Cho lục giác lồi có $6$ góc bằng nhau: $ABCDEF$ Biết $AB=AF=1\;(cm)$, $BE= 2,5\; (cm)$ và $CF=3\;(cm)$.

Tính độ dài các cạnh còn lại.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-10-2013 - 17:51

$\boxed{\text{Bài toán 161}}$
Cho tam giác $\triangle ABC$, các trung tuyến $ m_{a,b,c},\;R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{\sqrt{m_a}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_b}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_c}} \ge \sqrt{\dfrac{6}{R}}$$
 
$\boxed{\text{Bài toán 162}}$ @};-
Cho hình vuông $n\times n$.
Hãy tính số cách điền các chữ số $1$ và $-1$ vào để tổng mỗi hàng ngang, dọc đều bằng $0$.
 
$\boxed{\text{Bài toán 163}}$
Cho $\triangle ABC$ và điểm $O$ nằm trong tam giác đó. Các đường tròn nội tiếp các tam giác $\triangle OAB,\;\triangle OBC,\;\triangle OCA$ có bán kính bằng nhau.
Chứng minh rằng: Nếu $O$ là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm hay trực tâm của $\triangle ABC$ thì $\triangle ABC$ là tam giác đều!
 
$\boxed{\text{Bài toán 164 & 165}}$ @};-
Tính toán 2 tổng sau:

  • $S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}$
  • $S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$

Ký hiệu $\binom{n}{k}=\complement_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

 

$\boxed{\text{Bài toán 166}}$ @};-

Với $\varepsilon >0$ cho trước. Hàm $f:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa mãn

$\left|f(x+y)-f(x-y)-2f(y)\right|\le \varepsilon,\forall x,y\in\mathbb R$.
Chứng minh rằng: $\exists$ hàm $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ cộng tính sao cho $\left|f(x)-g(x)\right|\le \varepsilon$

 

$\boxed{\text{Bài toán 167}}$

Cho $n$ là 1 số nguyên dương. CMR nếu PT
$$x^3-3xy^2+y^3=n$$
có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên .
Khi $n=2891$ PT có ngiệm nguyên không?

 

$\boxed{\text{Bài toán 168}}$

Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến $AB$ và $AC$$(B,C $ là các tiếp điểm), $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$; $P$ là điểm bất kỳ trên đường thẳng $MN$.Kẻ $PD$ là tiếp tuyến của $(O)$. CMR $PA=PD$

 

$\boxed{\text{Bài toán 169}}$

Một tập $H$ các điểm trong mặt phẳng gọi là tốt nếu mỗi bộ $3$ điểm của $H$ có một trục đối xứng. Chứng minh rằng:
a) Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.
b) Nếu một tập tốt $H$ có $2003$ phần tử thì tất cả chúng phải nằm trên một đường thẳng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 170}}$

Trong tam giác $ABC$, có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB, BC, CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $B_1,A_1$; $l_2$ cắt $CA, AB$ lần lượt tại $C_2,B_2$;  $l_3$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $A_3,C_3$. Chứng minh rằng:

$$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$

Trong đó, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 03-12-2013 - 19:37

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#8 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-12-2013 - 19:38

$\boxed{\text{Bài toán 171}}$

Giải các phương trình sau:

$1) 3^{2^{x}}+2^{2^{x}}=2^x+3^{x+1}+x+1$
$2)  3^{\sin^2x}+3^{cos^2x}=2^{-x}+2^{x}+2 $

 

$\boxed{\text{Bài toán 172}}$ @};-

Cmr với mọi số nguyên dương $n$, phương trình

$$ (C_{n}^{0})^{2}.x^{n} + (C_{n}^{1})^{2}.x^{n-1} +....+ (C_{n}^{n})^{2} = 0$$
Có $n$ nghiệm thực phân biệt và tất cả các nghiệm đó đều âm

 

$\boxed{\text{Bài toán 173}}$

Trên bờ một biển hồ hình tròn có $2n$ thành phố $(n \geq 2)$. Giữa hai thành phố tùy ý có thể có hoặc không có đường thủy nối trực tiếp với nhau. Người ta nhận thấy rằng đối với $2$ thành phố $A$ và $B$ bất kì thì giữa chúng có đường thủy nối trực tiếp với nhau khi và chỉ khi giữa các thành phố $A$' và $B'$ không có đường thủy nối trực tiếp với nhau, trong đó $A'$ và $B'$ theo thứ tự là hai thành phố gần với $A$ và $B$ nhất nếu đi từ $A$ đến $A'$ và $B$ đến $B'$ trên bờ hồ dọc theo cùng một chiều (cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ). Chứng tỏ rằng: từ mỗi thành phố đều có thể đi bằng đường thủy đến một thành phố tùy ý khác nhau theo một lộ trình qua không quá hai thành phố trung gian.

 

$\boxed{\text{Bài toán 174}}$

Cho hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
1) $f(3x)=3f(x), \forall x \in \mathbb{R}$
2) $f(x)=1-|x-2|, \forall x \in [1;3]$.
Tìm số $x$ nhỏ nhất thỏa mãn $f(x)=2001$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 175}}$

Biết đa thức:
$$f(x)=a x^{3} +a x^{2} +cx +d,(a \neq 0)$$
có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức 
$$g(x)=4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2}$$
 có bao nhiêu nghiệm ?
 
$\boxed{\text{Bài toán 176}}$ @};-

Với mỗi số nguyên $N$ ta thực hiện 1 trong 2 phép toán sau:
i) Bớt đi các số $0$ của $N$
ii) Nhân $N$ với một số nguyên dương tùy ý

Chứng minh rằng sau hữu hạn phép toán như vậy bằng cách hợp lí ta có 1 số có 1 chữ số

 

$\boxed{\text{Bài toán 177}}$

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $D=sin^5x+ \sqrt{3} cosx$

 

$\boxed{\text{Bài toán 178}}$

Cho lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có các cạnh bằng nhau và $$\widehat{A_1}+\widehat{A_3}+\widehat{A_5}=\widehat{A_2}+\widehat{A_4}+\widehat{A_6}$$.

CMR:
$$\widehat{A_1}=\widehat{A_4}; \widehat{A_2}=\widehat{A_5}; \widehat{A_3}=\widehat{A_6}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 178}}$

Một mạng đường giao thông gồm một số tuyến xe buýt thỏa mãn:
a) Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên 1 tuyến xe buýt nào đó;
b) Hai tuyến xe buýt chỉ có đúng 1 bến xe chung;
c) Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất 3 bến xe.

Có 7 bến xe buýt. Chứng minh rằng số bến xe trên mỗi tuyến bằng nhau .Tính số xe trên mỗi tuyến này

 

$\boxed{\text{Bài toán 179}}$ @};-

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có 2 đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^o$

 

$\boxed{\text{Bài toán 180}}$

Tìm hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn:

$$f(x+2002)(f(x)+\sqrt{2003})=-2004, \forall x$$


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#9 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-01-2014 - 11:45

$\boxed{\text{Bài toán 181}}$
Giải hệ phương trình:
$$ \left\{\begin{array}{l}y + \dfrac{y+3x}{x^2+y^2} = 3\\ x = \dfrac{x - 3y}{x^2+y^2} \end{array}\right.$$

$\boxed{\text{Bài toán 182}}$
Cho tập hợp $X= \{ 1,2,3...,n \} \subset \mathbb{N}$. Gọi $A$ là con của tập con của $X$ thỏa mãn điều kiện tồn tại 2 phần tử bất kì $a,b$ sao cho $a \vdots b$.
Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho $|A| =m$.

$\boxed{\text{Bài toán 183}}$ @};-
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh lần lượt là $a,b,c$, các đường phân giác $AA',BB',CC'$. Đặt $B'C' = a_1, C'A'= b_1, A'B' = c_1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{(a+b)^2a_1b_1}{16S^2} \geq 1.$$

$\boxed{\text{Bài toán 184}}$
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh có ít nhất $2^{n-1}+n$ số có thể chọn từ $\{ 1,2,...,2^n \}$ sao cho với mỗi cặp hai số phân biệt đã chọn $x,y$ ta đều có $x+y$ không là ước của $xy$.

$\boxed{\text{Bài toán 185}}$
Cho elip
$$(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1. $$
Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M,N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định.


$\boxed{\text{Bài toán 186}}$
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$
$2) f(-2)=f(-5)=n$

$\boxed{\text{Bài toán 187}}$
Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$.
a) Chứng minh tứ giác $CDEF$ là một tứ giác nội tiếp.
b) Kéo dài $DE$ cắt $AC$ ở $K$. Tia phân giác của góc $CKD$ cắt $EF$ và $CD$ tại $M$ và $N$. Tia phân giác của góc $CBF$ cắt $DE$ và $CF$ tại $P$ và $Q$. Tứ giác $MPNQ$ là hình gì ? Tại sao?

 

$\boxed{\text{Bài toán 188}}$ @};-

Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{x\sin x}{\sqrt{3+\sin^2x}}dx$

 

$\boxed{\text{Bài toán 189}}$

Cho $p \in [1;2)$ Chứng minh tồn tại dãy số $\{u_n \}$ thỏa mãn

$$\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1 \right)u_{n}^{1-\dfrac{1}{p}}< \infty$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 190}}$

Tìm tất cả tập hợp $A$ có hữu hạn phần tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $A$ có ít nhất $3$ phần tử
2) Với bất kì ba số $a,b,c$ đôi một phân biệt cùng thuộc $A$ thì $ab+bc+ca$ thuộc $A$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 12-02-2014 - 22:41

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#10 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-02-2014 - 22:42

$\boxed{\text{Bài toán 191}}$ @};-

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình chữ nhật. Gọi $\alpha, \beta$ lần lượt là các góc tạo bởi đường chéo $AC'$ với các cạnh $AB, AD$. Gọi $\phi$ là góc phẳng nhị diện $(B,AC,D)$. Chứng minh rằng:

$$\cos \phi = -\cot  \alpha . \cot \beta$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 192}}$

Cho hình chữ nhật có diện tích bằng $1$. Bên trong có $5$ điểm phân biệt (có thể nằm trên biên hình chữ nhật) sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $2$ tam giác với đỉnh là $3$ trong $5$điểm trên có diện tích bằng $\frac{1}{4}$. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 193}}$ @};-

Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên gạch men hình thang cân với kích thước : đáy nhỏ $7cm$, đáy lớn $21cm$, cạnh bên $7\sqrt{2}$. Số lượng gạch men không hạn chế. Hỏi có thể lát kín được hay không ? ( không được đập vỡ từng viên gạch hay lát chờm viên này lên viên kia) . Giải thích tại sao ?
 

$\boxed{\text{Bài toán 194}}$  @};-

Cho tứ giác $ABCD$, đặt $M=\max \{ \sin A, \sin B, \sin C, \sin D \}$. Chứng minh rằng:

$$1-\cos (A+B)\cos(B+C)\cos(B+D)  \leq 2M \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{B+C}{2} \sin\dfrac{C+A}{2} $$

 

$\boxed{\text{Bài toán 195}}$ 

Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt

$$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\dfrac{1}{k}}$$

1) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$
2) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 196+197+198}}$    @};-

1) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$, chứng minh rằng
$$\sum \dfrac{x}{z^3(x+11z)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x)$$
2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$, chứng minh rằng
$$\sum \dfrac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))} +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z)$$
3) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{x^4}{x+7y} > \dfrac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 199}}$ 

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành . Mặt Phẳng ($\alpha$) cắt $SA;SB;SC$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $O$ là giao của $AC$ và $BD$, $O_1$ là giao của $A_1C_1$ và $SO$.
a) Tìm giao điểm $D_1$ của mặt phẳng $\alpha$ và $SD$
b) CMR : $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=2\dfrac{SO}{SO_1}$
c) CMR : $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=\dfrac{SB}{SB_1}+\dfrac{SD}{SD_1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 200}}$ 

Tìm $n$ nguyên dương để:
$$n! \vdots   (n^2+1) $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-03-2014 - 22:57

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh