TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
ĐỀ THI KIỂM TRA HẾT HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: Toán
Thời gian làm bài : 90 phút không kể giao đề
(Đề có 01 trang)
Câu 1. (2 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$
b) Giải bất phương trình: $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2x-4}$
Câu 2. (2 điểm)
a) Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m \end{matrix}\right.$
b) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-xy=3\\ \sqrt{x^{2}+1} +\sqrt{y^{2}+1}=4 \end{matrix}\right.$
Câu 3. (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: $\sin^{3}x.\sin 3x + \cos ^{3}x.\cos 3x = \cos^{3}2x$
b) Tính các góc của tam giác $ABC$ biết: $\sin(B+C)+\sin(C+A)+\cos(A+B)=\frac{3}{2}$
Câu 4. (3 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có đỉnh $B(-2;1)$, điểm $A$ thuộc $Oy$, điểm $C$ thuộc $Ox$, góc $\widehat{BAC}=30^{0}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{5}$. Xác định tọa độ điểm $A,C$ biết điểm $C$ có hoành độ không âm.
b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-6x+2y+6=0$ và điểm $A(1;3)$.
i. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến đi qua $A$.
ii. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt $B,C$ sao cho diện tích tam giác $IBC$ lớn nhất, với $I$ là tâm đường tròn (C)).
Câu 5. (1 điểm)
Chứng minh rằng với $a>0,b>0,c>0$ thì:
$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}} +\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right )$
