Chủ đề này có 9 trả lời

[Lim]

Cuốn sách đầu tiên về Lý thuyết toán tử, Théorie des Opérations Linéaires, xuất bản ở Warsaw năm 1932, Stefan Banach đã giới thiệu nội dung của cuốn sách là nghiên cứu các hàm trong các không gian vô hạn chiều, đặc biệt là những không gian dạng B hay không gian Banach.

Cuốn sách được Banach miêu tả khá tốt, tuy nhiên, đinh nghĩa của nó có thể được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau, tùy thuộc vào từng người. Tôi chú trọng đến tính chất xa hơn " toán từ" , ở đó các toán từ được sử dụng như các ma trận . Ya nghĩa này hoàn toàn phụ thuộc vào bạn.

Nếu bạn là một sinh viên kỹ thuật, các ma trận là những ký hiệu mà bạn thao tác để giải các hệ phương trình tuyến tính . Nếu bạn theo ngành kỹ thuật, bạn có thể thay vì sử dụng sách đại số toán tử của Heaviside, ở đó bạn được phép sử dụng tất cả các thao tác bất thường cho đạo hàm, để giải quyết các bài tập tuyến tính trong ứng dụng giải tích . Và sẽ có tới 90% bạn sẽ tìm ra đáp án đúng, như bao sinh viên kinh nghiệm khác . Điều này có thể làm thỏa mãn , nếu như chiếc cầu bạn xây không phải là nơi tôi lái xe qua.

Đối với sinh viên toán, về giải tích cơ bản, khi học về ma trận là các hàm số tuyến tính có mối quan hệ với các không gian vector hữu hạn chiều, và ngược lại. Như công việc của một nhà toán học , giải tích đủ để giải quyết các vấn đề như vô hạn, và sẽ đồng ý một cách vui vẻ với định nghĩa của Banach.

Với một sinh viên đại số, các ma trận trở thành các trò chơi giải trí, ở đó chúng có thể được công trừ, hay nhân, bất chấp các tính chất của giao hoán . Người làm việc trong đại số với cảm thấy thích thú với việc cộng trừ, và nhân, nhưng nhận ra rằng, những vần đế mà giải tích hưởng tới dường như bị giới hạn bởi các phép toán này .

Trong bài này, chúng ra sẽ cố gắng làm vui lòng mọi người, trừ những người trong ngành toán thực sự, bằng việc chúng ta giải những bài toán ứng dụng, chúng ta phân tích, chúng ta cộng trừ và nhân . Cuốn sách của Arveson mang nhiều chất đại số, tuy nhiên, các bài giảng sẽ chứa đựng cả 3 góc nhìn khác nhau .

Chúng ta bắt đầu với một thứ hoàn toàn khác, đó là lịch sử . Nó luốn là một điều hữu ích khi nhìn lại dòng lịch sử của các ngành toán học, đặc biệt theo tuần tự để hiểu được tại sao, các vấn đề hoàn toàn khác lại có mối liên hệ với nhau, và tại sao những mảng toán lại được sự chú ý và quan tâm đến vậy. Ngày nay, có rất nhiều tài nguyên toán học tốt giúp chúng ta tra cứu và biên khảo một cách dễ dàng , MacTutor History of Mathematic Archive là một ví dụ. Nếu Banach đã truy cập được internet, có lẽ ông ấy đã không bất cẩn khi rút đi ý tưởng đột phá trong bài giới thiếu và thay vào đó là đi theo một vấn đề, mà theo Jacques Hadamard thì nó có nguồn gốc từ Vito Volterra. Cuốn sách mà tôi cho rằng hoàn hảo và sâu sắc nhất đó chính là Cuốn lịch sử giải tích hàm của Jean Dieudonné, mà tôi đang làm tại liệu chính để dẫn dắt các bạn, hy vọng các bạn thu thập được điều thú vị ở đó.

-----------------
Lịch sử lý thuyết toán tử



Các khái niệm chúng ta sẽ đi đến bắt nguồn từ những vấn đề như : tuyến tính, không gian vô hạn chiều, ma trận, và phổ ( phổ bao gồm các trị riêng, chúng ta sẽ học sau, cũng với các khái niệm liên quan ). Các khái niệm này được áp dụng vào trong

Các ma trận và đại số trừ tượng

Mô hình khai sinh của lý thuyết toán tử xuất phát từ việc nghiên cứu các ma trận . Mắc dù từ " ma trạn" chỉ được James Sylvester nhắc đến năm 1850, các phương pháp ma trận đã từng được sử dụng từ trên 2000 năm trước , cái mà chúng ta vẫn gọi như Phép tối giản Gauss, thực chất bắt nguồn từ cuốn sách 9 chương Toán nghệ thuẩt ( Mathematical Art) của nhà Hàn, Trung Quốc. Ngảy cả trước đó, năm 300 trước Công nguyên, thì các dấu vết còn lưu lại của Babylon cũng đã chứng tổ họ đã dùng đến các phương trình tuyến tính . Cũng giống như vậy, mắc dầu Carl Friedrich Gauss đã đưa ra khái niệm " định thức " ở thế kỷ thứ 19, tuy nhiên, định thức đã từng được điềm báo hàng thế kỷ trước đó, và được đồng thời Takakazu Seki Kowa ở Nhật Bản và Gottfried Leibniz ở Châu Âu sử dụng năm 1683.

Trị riêng và chéo hóa được khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Louis Cauchy trong quá trình ông tìm công thức đơn giản hơn cho các hàm bậc 2. Cauchy chứng minh định lý phổ cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận đối xứng thực đều chéo hóa. Định lý phổ được tổng quát hóa bởi John von Neumann là kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết phổ, và Cauchy được biêt đến như là người đầu tiên hệ thống hóa các định thức.

Những gì chúng ta được học ở trường về đại số tuyến tính , thường mang nặng các bước tính toán . Thực chất, các nhà toán học ngày nay có cái nhìn trực giác về cấn đề cũng với cấu trúc hơn là việc tìm hiểu các cấu trúc đó, những ý tưởng này đã chưa được biết đến mãi tận giữa thế kỷ thứ 19 và chỉ được phát triển và nhân rộng ra từ thế kỷ thứ 20. Có thể cho rằng, việc khám phá ra Quaternion của William Rowan Hamilton năm 1843 và sự ra đời của Đại số mở rộng của Hermann Grassmann một năm sau đó đã đánh dấu sự khai sinh của Đại số trừ tượng. Grassmann cũng là người đã giới thiệu về tích vô hướng. Cauchy và Jean Claude de Saint-Venant cũng là người đóng góp cho lịch sử đại số trừ tượng. Tuy nhiên, 2 sinh viên này đã phát triển đại số trừu tượng để mô hình hóa những vấn đề khác, không được nhắc đến. Đối với Hamilton, quaternion mang đến một cách diễn giải đại số tốt hơn về không gian và thời gian, trong khi, đối với Grassmann, nó mang nhiều ý nghĩa hình học.

Năm 1875 Arthur Cayley giới thiệu ý tưởng về đại số của các ma trận, và năm 1858 ông đã chỉ ra rằng, trong ngôn ngữ hiện đại, các quaternion có thể được " biểu diễn" bằng các ma trận. Mục đích của việc tìm các đối tượng thực của cấu trúc trừu tượng vẫn được tiếp tục cho tới nhay nay, trở thành một nét nổi bật của đại số trừ tượng, và chúng ta sẽ tiếp tục quan tâm đến vấn đề này trên lớp( diễn đàn) để hiểu được đại số toán tử trừ tượng có thể được biểu diễn tượng tự .

Năm 1987, Camille Jordan công bố dạng giải tích tiêu chuẩn của các ma trận, và đây là dạng đầu tiên để phân ly ( decomposition) các toán tử compact trong không gian vô hạn chiều.

Một loạt các tiên đề cho các không gian tuyến tính đã được Giuseppe Peano giới thiệu trong cuốn sách của ông năm 1888, có tiêu đề là Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Cũng từ cuốn sách này , bạn sẽ tìm thấy một định lý ở đó nói rằng, mọi toán tử xác định trên một không gian vector hữu hạn chiều là một ma trận. Peano định nghĩa tổng và tích của các toán tử toán tính một cách ngắn gọn, và cũng từ đây, lý thuyết toán tử bắt đầu hình thành song song với sự phát triển của đại số và kết hợp với các bước phát triển trong giải tích.

Toán từ trong thời kỳ đầu của Giải tích

Leibniz là người đầu tiên nghĩ đến những tính chất đại số của các toán tử trong phương pháp tính , ví dụ như bằng việc xem xét các đạo hàm bậc cao giống như các toán tử liên tục, chúng ta có thể viết chúng như Da f(x) . Theo đó, ông cố gắng tìm hiểu các trường hợp ở đó nó nhận giá trị âm hoặc là vô tỉ.

Ngày nay, nhiều ngành của giải tích không thể tách rời với lý thuyết toán tử, đáng chú ý phải kể đến variational calculus, transform theory, và differential equations.
Các ngành này đều phát triển sau lý thuyết toán tử tới hàng thế kỷ, vì thế, không phải nhạc nhiên khi nhiều vấn đề của lý thuyết toán tử được giới thiệu trong các ngành này. Phương trình đạo hàm và phương pháp tính nhiều biến được phát triển nhờ sự đống góp lớn của Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, và gia đình Bernoulli . Ví dụ, ngày nay chúng ta nhận thấy rằng, các kỹ thuật tính toán biến đầu tiền của một hàm là một dạng của đạo hàm trong một không gian của các hàm, và đây chính là một toán tử tuyến tính. Trong khi, những người sáng tạo trước đó của phương pháp tính nhiều biến không cho phép chúng như là các toán từ như quan điểm trừ tượng .

Cùng với sự tiếp nối của Pierre-Simon Laplace, Joseph Fourier và một số nhà toán học khác, mở ra những hướng nghiên cứu nổi trội về các dạng toán tử trong các không gian của các hàm. Các toán tử nguyên cũng đã được đựa ra bởi nhà toán học người Anh George Green.

Fourier là một nhà khoa học có tiếng ( một nhà cách mạng, một kỹ sư xây dựng, một nhà Ai cập cổ và cũng là một nhà chính trị ) , người đáng lẽ phải được biến đến nhiều hơn . Ông có đóng góp trong nhiều vấn đề cách tân , bao gồm :
- Khai triển Fourier, nay được xem là một trong những ví dụ quan trọng một của một toán tử đơn vị trong không gian Hilbert.
- Đạo hàm và các nghiệm bậc 1 của phương trình nhiệt và phương trình khuếch tán.
- Người sáng tạo ra ký hiệu hiện đại cho tích phân xác định .
- Hệ thống hóa sự khai triển của các hàm và giải tích của các hệ phương trình vô hạn.

Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các trị riêng với các phương trình đạo hàm được nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles François Sturm năm 1836 và Joseph Liouville năm 1838. Đây là một bước liên hệ rất có ý nghĩa bởi vì không giống với trường hợp của Cauchy, không gian cơ sở là vô hạn chiều, ở đó cho phép các vấn đề không thể phát triển được trong trường hợp hữu hạn của đại số tuyến tính . Ví dụ, các toán tử vô hạn chiều có thể có phổ liên tục, và nó được sáng tỏ khi George Hill giới thiệu lý thuyết về các phương trình chu kỳ Sturm-Liouville, khi ông nghiên cứu sự ổn định của quỹ đạo mặt trăng. Trong bước phân tích của ông, Hill đã giới thiệu các định thức vô hạn.

Lý thuyết Sturm- Liouville bắt đầu với cái mà chúng ta ngày nay gọi là lý thuyết phổ của các toán tử đạo hàm tầm thường . Các nhà toán hoc cuối thế kỷ thứ 19 đã quan tâm đến các trị riêng của các phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các toán tử Laplace. Bài toán Dirichlet, mang tên nhà toán học Gustav Lejeune Dirichlet, là tìm môt nghiệm cho phương trình Laplace với các điều điện giới hạn rõ ràng.

Sự tinh tế của bài toán dẫn các nhà toán học có một cái nhìn sâu sắc và chặt chẽ hơn về sự hội tụ của các dãy và các hàm , và bản chất của cái mà chúng ta ngày nay gọi là các toán tử đạo hàm riêng. Ngày nay, chúng ta nhận ra nó như là một câu hỏi trong topo, ở đó chúng ta coi các hàm như là các điểm trong một tập hợp gọi là các không gian hàm, nhưng mãi đến nửa sau của thế kể thứ 19, khái niệm này vẫn chưa xuất hiện. Năm 1862, Grassmnn và Salvatore Pincherle là 2 người đầu tiên ký hiệu các hàm như các đại lượng ngắn gọi f, mà không phải là f(x), như các quan hệ giữa biên và miền giá trị . Ý tưởng hoàn chỉnh của một không gian hàm được giới thiệu ở thế kỷ thứ 20, thực tế, đây là trọng tâm của giải tích hàm ở thế kỷ này, và nó chịu ảnh hưởng bởi quá trình tìm lời giải cho bài toán Dirichlet , chuỗi khai triển và chuỗi Fourier, cùng với công trình của Vito Volterra và Ivar Fredholm trong phương trình nguyên.

Lịch sử toán học thế kỷ thứ 19 còn phải nhắc đến sự đóng góp của Oliver Heaviside. Heaviside là một người ngoại đạo tài năng, mặc dầu không được đào tạo một cách hệ thống, nhưng ông lại có dấu ấn trong lý thuyết điện và từ trong vật lý, và trong những năm 1880 và 1887, ông đã hệ thống hóa phương pháp tính và đưa ra ký hiệu mà ngày nay chúng ta sử dụng rộng rãi, d/dx. Mắc dù ông đã phát triển các hưởng giải phương trình đạo hàm hiệu quả, song ông đã không có mối quan hệ tốt với cộng đồng toán học khi đó. Các phương pháp của ông khi đó có thể coi là đi trước cộng đồng, người đi tiên phong trong việc phát triển các toán tử đạo hàm giả. Phương pháp của Heaviside vẫn được các nhà kỹ thuật sử dụng nhiều, như là một hướng độc lập với toán học hiện đại, và nó là một cầu nối tốt giữa các ngành khoa học với nhau.

Lý thuyết toán tử ở nửa đầu thế kỷ thứ 20

Các chủ đề của lý thuyết toán tử và những vấn đề quan trọng bậc nhất như tập con, lý thuyết phổ được sự chú ý đặc biệt từ sau năm 1900. Sự kiện quan trọng phải kể đến đó là sự ra đời của lý thuyết các phương trình nguyên của Fredholm, được phát triển như là một hướng tiếp cận mới cho bài toán Dirichlet. Trong bài báo cáo đầu tiên của ông năm 1900 và bái báo có tính chất nền móng trên Acta Mathematica 1903 , Fredholm đã đưa ra một hướng giải tích hoàn chỉnh về một lớp phương trình nguyên quan trọng, được biết đến như là các phương trình Fredholm. Các kết quả tiếp theo phải kể đến đó là
- Định lý Fredholm ở đó mở rộng một kết quả không tầm thường trong đại số tuyến tính thành một lớp rộng các toán tử
- Các bước phân tích thận trọng về sự hội tụ của một chuỗi của các toán tử , bằng việc lấy xấp xỉ các phương trình của ông cùng với tổng Rienmann, và dẫn đến một giới hạn.
- Định nghĩa của định thức cho một lớp của các toán tử ( một bước cách tân so với định nghĩa của Hill)
- Lần đầu tiên sử dụng toán tử resolvent ( khái niệm này được Hilbert nhắc đến )
- Năm 1902, trong bài nghị biện của ông, Lebesgue đã định nghĩa dạng tích phân hiện đại và giới thiệu các không gian quan trọng nhất của các hàm, viết tắt là Lp

Cùng thời gian đó, Hilbert đặt nền móng cho lý thuyết phổ hiện đại trong một chuỗi các bài báo được truyền cảm hứng bởi kết quả của Fredholm. Từ "phổ" được Hilbert lấy từ bài báo năm 1897 của Wilhelm Wirtinger. Hilbert bắt đầu thích các kết quả của Fredholm cùng với ý tưởng về các phương trình nguyên, và ông nó rằng Friedholm có thể ra nhiều kết quả hơn nếu không gian của các hàm là L2, các hàm nguyên bình phương , và khi các toán tử nguyên là đối xứng . Đây chính là bước khám phá ra không gian Hilbert, cùng với nền móng của việc nghiên cứu các toán tử tự liên hợp. Năm 1906, Hilbert tách hướng giải tích của ông ra ngoài hướng phương trình nguyên và khám phá ra các phổ liên tục, cái đã được giới thiệu , tuy nhiên không được nhận ra trong công trình của Hill

Tư tưởng về một đại số của các toán tử được xuất hiện trong một chuỗi các bài báo được tập hợp lại thành một cuốn sách năm 1913 của Frigyes Riesz, ở đó Riesz nghiên cứu tính chất đại số của các toán tử biên trong không gian Hilbert L2. Riesz giới thiệu các ánh xạ trực giao, và các phổ nguyên, lần đầu tiên được xuất hiện trong công trình của ông. Năm 1916, Riesz sáng tạo ra lý thuyết mà ông gọi là các toán tử " liên tục hoàn toàn", nay được biến đến như là các toán tử compact. Do công trình của ông ban đầu được viết bằng tiếng Hungari, nên phải vài năm sau nó mới có bản dịch sang tiếng Đức. Định lý phổ của Riesz cho các toán tử compact là sự tóm tắt đồng thời mở rộng công trình của Fredholm.

Định nghĩa của định lý phổ tự liên hợp , tổng quát hơn là các norm, các toán tử được khám phá cùng lúc bởi Marshall Stone và John von Neumann năm 1929-1932. Mặc dầu định nghĩa của Stone được dùng nhiều trong các sách ngày nay, song các đóng góp của von Neumann mới có ý nghĩa hơn . Một trong những động lực của von Neumann chính là cơ học lượng tử, ở đó ông khám pha ra một dạng phát biểu mởi, khác biệt với 2 dạng mà Erwin Schrödinger và Werner Heisenberg đề xuất. Ở đó chứa đựng cái nhìn sâu sắc của Neumann, ông cho rằng, ngôn ngữ tự nhiên của cơ học lượng tử chính là các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert. Quan điểm này đã thấm đượm trong các lý thuyết sau này của vật lý hiện đại. Von Neumann đã giới thiệu và khai triển nhiều khái niệm , nay là trọng tâm của lý thuyết toán tử như :
- Các miền của định nghĩa
- Mở rộng của các toán tử
- Một toán tử đóng
- Các toán tử liên hợp
- Các toán tử không biên
Và năm 1932, năm mà cuốn sách đầu tiên về lý thuyết toán tử do Stefan Banach viết đã được xuất bản, ông đã sử dụng một cách sâu sắc ngôn ngữ hình học trong cuốn sách này. Banach còn được biết đến với đóng góp trong
- Fixed - point theory
- Một cách hiểu mởi về bài toán đồ thị đóng, và
- Sự hội tụ yếu

Trong một chuỗi các bài báo năm 1935, viết với F.J. Murray, von Neumann viết một cách tỉ mỉ lý thuyết về các đại số toán tử, đã được giới thiệu bởi Riesz. Họ nhận ra rằng, tập hợp các toán tử ở đó giao hoán với một algebra là một công cụ quan trọng trong giải tích và phân loại, và nó sẽ có đóng góp quan trọng cho đại số thuần túy nói riêng hay đại số mở rộng nói chung.

Sau đó, năm 1941, trong một bài báo của Israil Gel'fand gửi Matematicheskii Sbornik, ông đã phát triển định lý phổ cho các cơ sở của các đại số norm hóa, đồng thời giới thiệu :
- Công thức bán kinhd phổ
- Đại số C* và đặc trưng của một đại số

Từ đó đến nay, lý thuyết phổ không ngừng phát triển, và mở rộng tầm ảnh hưởng không chỉ trong toán lý thuyết mà còn trong toán ứng dụng, cũng như trong vật lý .

Bibliography
1. A.D. Alexandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrent'ev, eds., Mathematics. Its Content, Methods, and Meaning, in three volumes. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1963 (original publication by Akademiya Nauk, 1956).

2. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, New York: Dover, 1993.

3. Jean Dieudonné, History of Functional Analysis, Amsterdam, New York, and Oxford: North-Holland, 1981

4. Felix Klein's Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, New York: Chelsea, 1967.

5. The MacTutor History of Mathematics Archive

Lim & hoadaica

[mitdac]

Bài của Lim&Hoadaica hay tuyệt ! Theo tớ biết thì cụ Dieudonne có viết về lịch sử topo và hhds nữa . Nếu 2 bạn có thì có thể đưa lên dđ cuốn về topo và [3] đc kô ?

[pizza]

Có bọn tây nó đạo bài của 2 chú , ban điều hành DĐ xem thế nào kiện bọn nó cái nhỉ . Bao nhiêu công sức anh em bỏ ra , thế mà chúng nó dám

A Short History of Operator Theory

by Evans M. Harrell II



© 2004. Unrestricted use is permitted, with proper attribution, for noncommercial purposes.





--------------------------------------------------------------------------------
In the first textbook on operator theory, Théorie des Opérations Linéaires, published in Warsaw 1932, Stefan Banach states that the subject of the book is the study of functions on spaces of infinite dimension, especially those he coyly refers to as spaces of type B, otherwise Banach spaces (definition).
This was a good description for Banach, but tastes vary. I propose rather the "operational" definition that operators act like matrices. And what that means depends on who you are.

If you are an engineering student, matrices are particular symbols you manipulate to solve linear systems. As a working engineer you may instead use Heaviside's operational calculus, in which you are permitted to do all sorts of dangerous manipulations of symbols for derivatives and what not, exactly as if they were matrices, in order to solve linear problems of applied analysis. About 90% of the time you will get the right answer, just like the student; somewhat more with experience. And that is good enough, if the bridges you build aren't where I drive.

In mathematics the student of elementary analysis learns that matrices are linear functions relating finite-dimensional vector spaces, and conversely. As a working mathematician the analyst has lost all fear of minor matters like infinity, and will happy agree with Banach's definition.

For the students of algebra, matrices are fun objects that can be added and multiplied, usually in flagrant disregard for the law (of commutativity). The working algebraist still enjoys adding and multiplying, but feels that the analyst's concern about just what the things being added and multiplied are is, well, limiting.

In this course we'll try to please everyone, except that this is a mathematics course, so we'll always be careful. We'll solve applied problems, we'll analyze, and we'll add and multiply. The book by Arveson is somewhat algebraic, but the lectures will take all three points of view.

We'll start with something completely different, namely history. It is usually instructive to review the history of a branch of mathematics, especially in order to understand how the subject applies and why some parts are considered particularly interesting. Today there are excellent resources making this easy, especially the MacTutor History of Mathematics Archive. Perhaps if Banach had had access to the internet he wouldn't have so carelessly reduced his historical remarks in the introduction to an unsupported repetition of Jacques Hadamard's assertion that it was mainly the creation of Vito Volterra. The most thorough history of operator theory of which I am aware is Jean Dieudonné's History of Functional Analysis, on which I draw in this account, along with some other sources in the bibliography you may enjoy.



--------------------------------------------------------------------------------

The concepts whose origins we should seek include: linearity, spaces of infinite dimension, matrices, and the spectrum. (The spectrum comprises eigenvalues and, as we shall learn, other related notions.) As with most of mathematics, these concepts arose in applications.

Matrices and Abstract Algebra.
The original model for operator theory is the study of matrices. Although the word "matrix" was only coined by James Sylvester in 1850, matrix methods have been around for over 2000 years, as attested by the use of what we would call Gauß elimination in a Chinese work, Nine Chapters of the Mathematical Art, from the Han Dynasty. (Even earlier, around 300 BC, the Babylonians worked with simultaneous linear equations.) Likewise, although Carl Friedrich Gauß gave us the word "determinant," in the 19th Century, determinants had had precursors for centuries, and were explicitly used since their simultaneous discovery in 1683 by Takakazu Seki Kowa in Japan and Gottfried Leibniz in Europe.
Eigenvalues and diagonalization were discovered in 1926 by Augustin Louis Cauchy in the process of finding normal forms for quadratic functions. (An early calculation equivalent to diagonalization is attributed to Johan de Witt in 1660.) Cauchy proved the spectral theorem for self-adjoint matrices, i.e., that every real, symmetric matrix is diagonable. The spectral theorem as generalized by John von Neumann is today the most important result of operator theory. In addition, Cauchy was the first to be systematic about determinants.

All this time, what we regard as linear algebra was embedded in practical calculations. Indeed, although today professional mathematicians intuitively regard our subject as concerned with structures more than with particular realizations of those structures, this idea was absent until the mid-nineteenth century and only came to dominate well into the twentieth century. Abstract algebra can said to have been born with William Rowan Hamilton's discovery of quaternions in 1843, and Hermann Grassmann's introduction of exterior algebra the following year. Grassmann was also responsible for introducing the scalar product. Cauchy and Jean Claude de Saint-Venant also created abstract algebraic structures at about this time. Still, these scholars developed algebras with the idea of modeling something. For Hamilton, quaternions were to give a better algebraic description of space and time, and for Grassmann the goal was geometric.

In 1857 Arthur Cayley introduced the idea of an algebra of matrices, and in 1858 he showed, in modern parlance, that quaternions could be "represented" by matrices. The goal of finding concrete realizations of abstract structures continues to this day to be a salient feature of abstract algebra, and we shall be concerned in this class to see how abstract operator algebras can similarly be represented.

In 1870, Camille Jordan published the full canonical-form analysis of matrices, which is a prototype for the decomposition of compact operators in the infinite-dimensional case.

The fully axiomatic treatment of linear spaces is due to Giuseppe Peano in his 1888 book, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva . This is where you will find the theorem that every operator defined on a finite-dimensional vector space is a matrix. Peano defined the sum and product of linear operators abstractly, and at this stage operator theory began to take shape as progress in algebra merged with developments in analysis.


Operators in Early Analysis.
Leibniz was the first to think of the algebraic properties of the operations of calculus, for example by considering higher derivatives as successive operations we might write today as Da f(x). Reportedly he attempted to understand the case where a might be negative or irrational.

Today, many branches of analysis are inseparable from operator theory, notably variational calculus, transform theory, and differential equations. Since all these subjects predated operator theory as such by a century or two, it is no surprise that some of the earliest antecedents of operator theory are to be found in them. Differential equations and variational calculus were largely the creation of Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, and the Bernoulli family. For example, we now realize that the technique of calculating the first variation of a functional is a kind of differentiation in a space of functions, and that a derivative in this context is a linear operator. While the early creators of variational calculus did not avail themselves of operators as abstractly conceived, they were implicitly using operators.

So it is with the transforms of Pierre-Simon Laplace, Joseph Fourier and others, which to this day remain some of the most remarkable and most studied kinds of operators on spaces of functions. Integral operators were also implicit in the work of the self-taught British matematician, George Green.

Fourier was a remarkable scientist (and revolutionary, civil engineer, Egyptologist, and politician), who is perhaps less well appreciated by mathematicians today than he should be. The folk history repeated by many mathematicians would have you believe that the contributions attributed to him were known earlier, and that he lacked "rigor." The latter charge, however, is unreasonable, because current standards of mathematical rigor are a creation of the late nineteenth century, under the influence of analysts such as Karl Weierstraß. Fourier's standards of rigor were those of the day. Moreover, when we early scholars today, our understanding of the concepts they use is often quite different from theirs. In Fourier's day, a function was generally conceived of as a formula, and some of Fourier's contemporaries criticized him for thinking of functions more as we do today.

Although trigonometric expansions were certainly used before Fourier, he can be credited with many innovations, including:

The Fourier transform, which is now arguably the most important example of a unitary operator on Hilbert space.
The derivation and first solutions of the heat, or diffusion, equation.
The invention of the modern symbol for the definite integral.
The most pertinent of Fourier's innovations for the theory of operators, all from his Théorie de la Chaleur, written from 1807 to 1822, are:
The first explicit use of a differential operator, when he wrote D for the Laplacian and D2 for its square [Cajori];
the systematic expansion of functions in a basis, and
the analysis of infinite systems of equations.
The earliest significant appearance of eigenvalues in connection with differential equations was in the theory developed by Charles François Sturm in 1836 and Joseph Liouville in 1838. This is important because, unlike the situation studied by Cauchy, the underlying space is infinite dimensional, which allows phenomena that do not arise in the finite-dimensional case of linear algebra. For example, infinite-dimensional operators can have continuous spectrum, as became evident (though not in that language) when George Hill presented the theory of periodic Sturm-Liouville equations in order to study the stability of the lunar orbit. In his analysis, Hill introduced infinite determinants.

Sturm-Liouville theory was the beginning of what we now refer to as the spectral theory of ordinary differential operators. In the late Nineteenth Century mathematicians were also concerned with the eigenvalues of partial differential operators, particularly the Laplace operator. The Dirichlet problem, named for Gustav Lejeune Dirichlet (the family name was Lejeune Dirichlet), was to find a solution of Laplace's equation with specified boundary conditions. Subtleties in this problem led mathematicians to a better and more rigorous understanding of convergence of sequences of functions and the nature of what are now termed partial differential operators. Today we recognize this as a a question of topology, as we familiarly treat functions as points in sets usually called function spaces, but until the latter part of the Nineteenth Century, this notion was lacking. Grassmann, in 1862 and Salvatore Pincherle seem to have been the first to write functions as abstract entities f, rather than f(x), i.e. as relations between domain and range values. The full idea of a function spaces is of the Twentieth Century, indeed it is the central notion of Twentieth Century analysis, and was influenced by attempts to understand the Dirichlet problem, Fourier series and transforms, and the work of Vito Volterra and Ivar Fredholm on integral equations.

One last Nineteenth Century influence deserving mention is the influence of Oliver Heaviside. Heaviside was a brilliant outsider who with little formal education made substantial contributions to the theory of electricity and magnetism, and between 1880 and 1887 created a systematic operational calculus, in which he boldly manipulated symbols, such as the differential operator d/dx, in novel ways. Although he developed efficient ways to solve differential equations, he was disdainful of mathematical rigor and had poor relations with the scholarly community. His influence on mathematics has been correspondingly mixed. In some respects his formal methods were ahead of their time, anticipating Twentieth Century developments such as pseudodifferential operators. On the other hand, the operational calculus can be ambiguous and can interfere with the understanding of important analytical issues. Heaviside's operational calculus has continued to have a following among engineers and scientists to this day, in isolation from modern mathematics, and this situation has been a barrier to good communication among practitioners of different disciplines.

Operator Theory in the First Half of the Twentieth Century.
The subjects of operator theory and its most important subset, spectral theory, came into focus rapidly after 1900. A major event was the appearance of Fredholm's theory of integral equations, which arose as a new approach to the Dirichlet problem. In a preliminary report based on his dissertation published in 1900 and a landmark article in Acta Mathematica in 1903, Fredholm gave a complete analysis of an important class of integral equations, now known as Fredholm equations. Notable achievements in this work were:
The famous Fredholm alternative theorem, which extended a non-trivial result of linear algebra to a wide class of operators.
A careful analysis of the convergence of a sequence of operators, as Fredholm approximated his equations with Riemann sums and passed to a limit.
The definition of the determinant to a class of operators (greatly extending the innovation of Hill).
The first use of the resolvent operator (although that term is due to Hilbert).
In 1902, in his dissertation, Lebesgue defined the modern form of the integral and introduced the most important spaces of functions, denoted in his honor Lp.

At about this time, Hilbert founded modern spectral theory in a series of articles inspired by Fredholm's work. (The word "spectrum" seems to have been adopted by Hilbert from an 1897 article by Wilhelm Wirtinger.) Hilbert began like Fredholm, with the specific idea of integral equations, and noticed that he could obtain more precise results when the space of functions considered was L2, the square-integrable functions, and when the integral operator was symmetric. This was the discovery of Hilbert space and the founding of the general study of self-adjoint operators. In 1906, Hilbert freed his analysis from the connection with integral equations, and discovered the continuous spectrum, which had been present but not recognized in the work of Hill.

The concept of an algebra of operators made its appearance in series of articles culminating in a 1913 book by Frigyes Riesz, where Riesz studied the algebra of bounded operators on the Hilbert space l2. Riesz representation, orthogonal projectors, and spectral integrals made their first appearance in this work. In 1916 Riesz created the theory of what he called "completely continuous" operators, now more familiarly compact operators. Since he wrote this in Hungarian, wide recognition came only two years later with a translation into German. Riesz's spectral theorem for compact operators made abstract, greatly extended, and largely supplanted Fredholm's work.

The definitive spectral theorem of self-adjoint, and more generally normal, operators, was the simultaneous discovery of Marshall Stone and John von Neumann in 1929-1932. Although Stone is more readable today, von Neumann's contributions are somewhat more far-reaching. One of von Neumann's motivations was quantum mechanics, which had been discovered in 1926 in two rather distinct forms by Erwin Schrödinger and Werner Heisenberg. It was von Neumann's insight that the natural language of quantum mechanics was that of self-adjoint operators on Hilbert space. This notion permeates modern physics. Von Neumann introduced or transformed many concepts now at the core of operator theory:

domains of definition
extension of operators
closure of an operator
adjoint operators
unbounded operators
He also annihilated with examples the imprecise concept of infinite matrices that had been a popular way to understand operators.
The year 1932 saw the first text on operator theory, by Stefan Banach, in which geometric language was used throughout. Banach was responsible for:

fixed-point theory
an understanding of contractions
the closed-graph theorem, and
weak convergence.
In a series of articles from 1935, partly with F.J. Murray, von Neumann elaborated the theory of operator algebras, introduced by Riesz. It is this point of view that prevails in Arveson's book. They realized that the sets of operators that commutes with an algebra was an important tool of analysis and classification, and made many contributions to pure algebra as well as algebra.
The final seminal work that will be mentioned here is that of Israil Gel'fand, who in a 1941 article in Matematicheskii Sbornik extended thei spectral theorem to elements of normed algebras, and in the process introduced

the spectral radius formula,
C* algebras (though not with that name), and
the character of an algebra
Since Gel'fand's time operator theory has become an enormous branch of pure and applied mathematics, and further developments are beyond the scope of a brief historical sketch.





--------------------------------------------------------------------------------

Bibliography
A.D. Alexandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrent'ev, eds., Mathematics. Its Content, Methods, and Meaning, in three volumes. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1963 (original publication by Akademiya Nauk, 1956).
Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, New York: Dover, 1993.
Jean Dieudonné, History of Functional Analysis, Amsterdam, New York, and Oxford: North-Holland, 1981
Felix Klein's Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, New York: Chelsea, 1967.
The MacTutor History of Mathematics Archive

http://www.mathphysi.../OpHistory.html

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 26-02-2006 - 19:36

[hieuphuong]

cam on ban lim
bai noi rat hay rat chung.NO cho minh thay duoc lich su cua toan tu nhu the nao.Chot lai la ko co gi moi dung voi voi cau cach ngon cach ngon hon 200 nam.

[hoadaica]

cái von newmann của em chỉ dùng cho việc học mấy cái thác triển độ đo thôi. Thêm một ít lý thuyết tích phân không giao hoán. Ông gs hướng dẫn chỉ bắt học cái đó. Em cũng đang đọc những kiến thức cơ bản của lý thuyết biểu diễn, hình học, mấy cái factor thì học rồi.
Bây giờ thiệt thấy bế tắt, vì sao? Thứ nhất là cái mà ông thầy em đang làm khó và hẹp. Hình học thì em rất kém, mà mấy cái thứ C*-algebra hay đại số von newmann gần như được ứng dụng vào hình học là nhiều. Muốn chuyển sang học thêm lý thuyết sx không giao hoán trên các toán tử nhưng tạm thời chỉ dám đọc một mình, không dám nói chuyện với thầy (ông này vốn là dân sx ra, từng được Kolmogorov đánh giá cao nhưng sau không hiểu sao chuyển sang làm mấy cái thứ như bây giờ).
Tạm thời bây giờ em đang học dưới sự hướng dẫn của thầy và đọc sách các chuyên ngành khác để hiểu rõ hơn. Còn để học cách ứng dụng sang một số thứ khác như knot theory và jones polynomial thì còn phải xem em tiếp tục học cái gì đã. Không thầy đố mày làm nên, ông cha ta dạy bảo thế. Tạm thời bây giờ theo thầy thì phải nghe lời thầy, chứ ổng biết mình đứng núi này nhìn núi nọ, học các tà môn ngoại đạo thì khó mà nhận làm nghiên cứu sinh nữa. hì hì.
Em vừa làm xong cái trường hợp riêng của bài toán Mackey-Glison cho đại số von newmann I_n. Nói chung là còn nhiều cái để học quá!

[hoadaica]

cuon sach cua ban mitdat noi minh co. Nhung khon dua len duoc, hi`

[Kakalotta]

Đa thức Jones, một trong những bông hoa đẹp nhất của toán học, kết quả được trao giải Field năm 94 mà còn còn coi là võ công tà môn à. Tuy nhiên, thầy vẫn quan trọng hơn.

[quantum-cohomology]

Chả hiểu sao đọc CV của Lê Tự Quốc Thắng, thấy có 1 paper nhan đề là: "Có phải đa thức Jones của Knot có thực sự là đa thức không? "

[hello]

các bạn nói đôi chút về lịch sử của toán tử kì dị đi !

[lovelymonkey]

Cuốn sách đầu tiên về Lý thuyết toán tử, Théorie des Opérations Linéaires, xuất bản ở Warsaw năm 1932, Stefan Banach đã giới thiệu nội dung của cuốn sách là nghiên cứu các hàm trong các không gian vô hạn chiều, đặc biệt là những không gian dạng B hay không gian Banach.

Cuốn sách được Banach miêu tả khá tốt, tuy nhiên, đinh nghĩa của nó có thể được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau, tùy thuộc vào từng người. Tôi chú trọng đến tính chất xa hơn " toán từ" , ở đó các toán từ được sử dụng như các ma trận . Ya nghĩa này hoàn toàn phụ thuộc vào bạn.

Nếu bạn là một sinh viên kỹ thuật, các ma trận là những ký hiệu mà bạn thao tác để giải các hệ phương trình tuyến tính . Nếu bạn theo ngành kỹ thuật, bạn có thể thay vì sử dụng sách đại số toán tử của Heaviside, ở đó bạn được phép sử dụng tất cả các thao tác bất thường cho đạo hàm, để giải quyết các bài tập tuyến tính trong ứng dụng giải tích . Và sẽ có tới 90% bạn sẽ tìm ra đáp án đúng, như bao sinh viên kinh nghiệm khác . Điều này có thể làm thỏa mãn , nếu như chiếc cầu bạn xây không phải là nơi tôi lái xe qua.

Đối với sinh viên toán, về giải tích cơ bản, khi học về ma trận là các hàm số tuyến tính có mối quan hệ với các không gian vector hữu hạn chiều, và ngược lại. Như công việc của một nhà toán học , giải tích đủ để giải quyết các vấn đề như vô hạn, và sẽ đồng ý một cách vui vẻ với định nghĩa của Banach.

Với một sinh viên đại số, các ma trận trở thành các trò chơi giải trí, ở đó chúng có thể được công trừ, hay nhân, bất chấp các tính chất của giao hoán . Người làm việc trong đại số với cảm thấy thích thú với việc cộng trừ, và nhân, nhưng nhận ra rằng, những vần đế mà giải tích hưởng tới dường như bị giới hạn bởi các phép toán này .

Trong bài này, chúng ra sẽ cố gắng làm vui lòng mọi người, trừ những người trong ngành toán thực sự, bằng việc chúng ta giải những bài toán ứng dụng, chúng ta phân tích, chúng ta cộng trừ và nhân . Cuốn sách của Arveson mang nhiều chất đại số, tuy nhiên, các bài giảng sẽ chứa đựng cả 3 góc nhìn khác nhau .

Chúng ta bắt đầu với một thứ hoàn toàn khác, đó là lịch sử . Nó luốn là một điều hữu ích khi nhìn lại dòng lịch sử của các ngành toán học, đặc biệt theo tuần tự để hiểu được tại sao, các vấn đề hoàn toàn khác lại có mối liên hệ với nhau, và tại sao những mảng toán lại được sự chú ý và quan tâm đến vậy. Ngày nay, có rất nhiều tài nguyên toán học tốt giúp chúng ta tra cứu và biên khảo một cách dễ dàng , MacTutor History of Mathematic Archive là một ví dụ. Nếu Banach đã truy cập được internet, có lẽ ông ấy đã không bất cẩn khi rút đi ý tưởng đột phá trong bài giới thiếu và thay vào đó là đi theo một vấn đề, mà theo Jacques Hadamard thì nó có nguồn gốc từ Vito Volterra. Cuốn sách mà tôi cho rằng hoàn hảo và sâu sắc nhất đó chính là Cuốn lịch sử giải tích hàm của Jean Dieudonné, mà tôi đang làm tại liệu chính để dẫn dắt các bạn, hy vọng các bạn thu thập được điều thú vị ở đó.

-----------------
<center><span style='font-size:14pt;line-height:100%'><span style='color:red'>Lịch sử lý thuyết toán tử </span></span></center>
Các khái niệm chúng ta sẽ đi đến bắt nguồn từ những vấn đề như : tuyến tính, không gian vô hạn chiều, ma trận, và phổ ( phổ bao gồm các trị riêng, chúng ta sẽ học sau, cũng với các khái niệm liên quan ). Các khái niệm này được áp dụng vào trong

<span style='color:green'>Các ma trận và đại số trừ tượng</span>

..........................................................................................................................
Sự tinh tế của bài toán dẫn các nhà toán học có một cái nhìn sâu sắc và chặt chẽ hơn về sự hội tụ của các dãy và các hàm , và bản chất của cái mà chúng ta ngày nay gọi là các toán tử đạo hàm riêng. Ngày nay, chúng ta nhận ra nó như là một câu hỏi trong topo, ở đó chúng ta coi các hàm như là các điểm trong một tập hợp gọi là các không gian hàm, nhưng mãi đến nửa sau của thế kể thứ 19, khái niệm này vẫn chưa xuất hiện. Năm 1862, Grassmnn và Salvatore Pincherle là 2 người đầu tiên ký hiệu các hàm như các đại lượng ngắn gọi f, mà không phải là f(x), như các quan hệ giữa biên và miền giá trị . Ý tưởng hoàn chỉnh của một không gian hàm được giới thiệu ở thế kỷ thứ 20, thực tế, đây là trọng tâm của giải tích hàm ở thế kỷ này, và nó chịu ảnh hưởng bởi quá trình tìm lời giải cho bài toán Dirichlet , chuỗi khai triển và chuỗi Fourier, cùng với công trình của Vito Volterra và Ivar Fredholm trong phương trình nguyên.

Rat cam on Lim+hoadaica da dich bai bo ich nay cho moi ng. Nhung minh thay co cho dich nay can sua lai: do la cong trinh cua Volterra va Fredholm la ve PT tich phan, dich PT nguyen la ko chinh xac. Cung nhu cac ham trong L2 la cac ham 'bình phương khả tích', không phải 'nguyên bình phương'.