Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

combinatorial limit

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-05-2013 - 21:39

Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

 

Kết quả


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2013 - 20:48

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1030 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-10-2015 - 19:11

Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

 

Kết quả

Gọi giới hạn cần tính là $L$, ta có :

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\ln(C_{n}^{0}C_{n}^{1}...C_{n}^{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\ln\left ( \frac{1^1.2^2.3^3...n^n}{1!.2!.3!...n!} \right )$

Đặt $S_n=\ln\frac{1^1.2^2...n^n}{1!.2!...n!}$ ; $A_n=\ln\frac{n^n}{n!}$ ; $t_n=A_{n+1}-A_n \Rightarrow A_1=0$ ; $A_{k+1}=t_1+t_2+...+t_k$

$t_n=\ln\frac{1^1.2^2...(n+1)^{n+1}}{1!.2!...(n+1)!}-\ln\frac{1^1.2^2...n^n}{1!.2!...n!}=\ln\left [ \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n \right ]\Rightarrow t_n$ là dãy số tăng và $t_n\rightarrow 1$

$\Rightarrow 0< t_1< \frac{t_1+t_2}{2}< \frac{t_1+t_2+t_3}{3}< ...< \frac{t_1+t_2+...+t_{k-1}}{k-1}<...<1$

hay $A_1< \frac{A_2}{1}<\frac{A_3}{2}<...<\frac{A_k}{k-1}<...<1$

Vì $t_n\rightarrow 1\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n-1}=1\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{2n-1}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_1+A_2+A_3+...+A_n}{1^2+(2.2-1)+(2.3-1)+...+(2n-1)}=\frac{1}{2}$

Chú ý rằng $A_1+A_2+...+A_n=S_n$ và $1^2+(2.2-1)+...+(2n-1)=n^2$, ta có : $L=\lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n^2}=\frac{1}{2}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-10-2015 - 07:32

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 24-10-2015 - 19:13

Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

đặt $\left\{\begin{matrix}x_n=\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k} \\ y_n=n^2 \end{matrix}\right.$

ta có 

$x_{n+1}-x_n=\sum_{k=0}^{n}\left ( \ln\binom{n+1}{k}-\ln\binom{n}{k} \right )+\ln\binom{n+1}{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\ln\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}=\ln\prod_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}=\ln\frac{(n+1)^n}{n!}$

do đó theo định lý $\text{Stolz}$

$\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\lim\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+1}$

áp dụng công thức Stirling's approximation  ta có

$\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+1}=\frac{n\left ( \ln(n+1)-\ln n \right )+n-O(\ln n)}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n -O(\ln n)}{2n+1}$

do đó ta có 

$\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim \left( \frac{n}{2n+1}+\frac{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n -O(\ln n)}{2n+1} \right )=\frac{1}{2}$

vậy $\boxed{\boxed{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n^2}\ln\binom{n}{k}=\frac{1}{2}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 24-10-2015 - 21:59

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh