Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $AD$,$BC$ và đường thẳng qua $X$ vuông góc với $CD$ đồng quy.

- - - - - geometry

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Nice problem :lol: (Chắc là bài này cũ rồi...Mọi người cùng làm nhá)

 

Problem:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AB$.Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại

 

$E$.Gọi $EY$ là đường đối trung của tam giác $EAB$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDY$ cắt lại $AB$ tại

 

$X$ khác $Y$.Chứng minh rằng $AD,BC$ và đường thẳng qua $X$ vuông góc với $CD$ đồng quy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 29-05-2013 - 13:48


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Check lại đề Hoàn ơi, anh vẽ sao nó không đồng quy?

290513.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-05-2013 - 15:02

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Chết...Mải quá em gõ thiếu :lol: Em đã sửa rồi :lol:



#4
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Hiu~hiu cả sáng ngồi cm = lượng giác đến chỗ cuối nó ra 1 cái đẳng thức khó, tưởng mình làm sai ai ngờ nhầm đề o.O

Gọi $AD$ cắt $BC$ tại $S$, đường thẳng qua $S$ vuông góc $CD$ cắt $AB$ tại $X'$, ta chứng minh $X'$ trùng $X'$ hay $DCX'Y$ nội tiếp.

97903.png

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa)

Do $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{DCB}+\widehat{DAB}=180^{o}$, để cm $DCX'Y$ nt ta chỉ cần chứng minh $\widehat{ADY}=\widehat{X'CB}$ hay chỉ cần chứng minh $\frac{\sin\widehat{ADY}}{\sin \widehat{BDY}}=\frac{\sin \widehat{X'CB}}{\sin \widehat{ACX'}}\,(1)$

Dễ thấy $\frac{AY}{BY}=\left(\frac{AE}{BE}\right)^2=\left(\frac{AD}{BC}\right)^2$ nên  :

$\frac{\sin\widehat{ADY}}{\sin \widehat{BDY}}=\frac{AD.DY.\sin\widehat{ADY}}{BD.DY\widehat{BDY}}.\frac{BD}{AD}=\frac{S_{ADY}}{S_{YDB}}.\frac{BD}{AD}=\frac{AD.BD}{BC^2}\,(2)$

Mặt khác kẻ $SH$ vuông góc $AB$, do $CD$ và $AB$ là 2 đường đối s0ng nên $SH$ và $SX'$ là 2 đường đẳng giác của $SAB$ :

$\frac{BH}{AH}.\frac{BX'}{X'A}=\left(\frac{SB}{SA}\right)^2\Rightarrow \frac{\cot\widehat{CBA}}{\cot\widehat{DAB}}.\frac{X'B}{X'A}=\left(\frac{\sin\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}}\right)^2\\ \Rightarrow \frac{BA}{X'A}=\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}$

$\Rightarrow \frac{S_{BCX'}}{S_{ACX'}}=\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}\Rightarrow \frac{\sin \widehat{X'CB}}{\sin \widehat{ACX'}}=\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}.\frac{AC}{BC}\, (3)$

Từ (1) (2) (3) ta cần chỉ ra :

$$\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}=\frac{AD}{BC}.\frac{BD}{AC}$$

Luôn đúng do $\frac{\sin\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}}=\frac{BD}{AC}$ (Định lý sin) và $\frac{\cos\widehat{DAB}}{\cos\widehat{CBA}}=\frac{AD}{BC}$ $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-05-2013 - 15:10

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#5
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết


Hiu~hiu cả sáng ngồi cm = lượng giác đến chỗ cuối nó ra 1 cái đẳng thức khó, tưởng mình làm sai ai ngờ nhầm đề o.O

Gọi $AD$ cắt $BC$ tại $S$, đường thẳng qua $S$ vuông góc $CD$ cắt $AB$ tại $X'$, ta chứng minh $X'$ trùng $X'$ hay $DCX'Y$ nội tiếp.

attachicon.gif97903.png

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa)

Do $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{DCB}+\widehat{DAB}=180^{o}$, để cm $DCX'Y$ nt ta chỉ cần chứng minh $\widehat{ADY}=\widehat{X'CB}$ hay chỉ cần chứng minh $\frac{\sin\widehat{ADY}}{\sin \widehat{BDY}}=\frac{\sin \widehat{X'CB}}{\sin \widehat{ACX'}}\,(1)$

Dễ thấy $\frac{AY}{BY}=\left(\frac{AE}{BE}\right)^2=\left(\frac{AD}{BC}\right)^2$ nên  :

$\frac{\sin\widehat{ADY}}{\sin \widehat{BDY}}=\frac{AD.DY.\sin\widehat{ADY}}{BD.DY\widehat{BDY}}.\frac{BD}{AD}=\frac{S_{ADY}}{S_{YDB}}.\frac{BD}{AD}=\frac{AD.BD}{BC^2}\,(2)$

Mặt khác kẻ $SH$ vuông góc $AB$, do $CD$ và $AB$ là 2 đường đối s0ng nên $SH$ và $SX'$ là 2 đường đẳng giác của $SAB$ :

$\frac{BH}{AH}.\frac{BX'}{X'A}=\left(\frac{SB}{SA}\right)^2\Rightarrow \frac{\cot\widehat{CBA}}{\cot\widehat{DAB}}.\frac{X'B}{X'A}=\left(\frac{\sin\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}}\right)^2\\ \Rightarrow \frac{BA}{X'A}=\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}$

$\Rightarrow \frac{S_{BCX'}}{S_{ACX'}}=\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}\Rightarrow \frac{\sin \widehat{X'CB}}{\sin \widehat{ACX'}}=\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}.\frac{AC}{BC}\, (3)$

Từ (1) (2) (3) ta cần chỉ ra :

$$\frac{\sin\widehat{DAB}.\cos\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}.\cos\widehat{CBA}}=\frac{AD}{BC}.\frac{BD}{AC}$$

Luôn đúng do $\frac{\sin\widehat{DAB}}{\sin\widehat{CBA}}=\frac{BD}{AC}$ (Định lý sin) và $\frac{\cos\widehat{DAB}}{\cos\widehat{CBA}}=\frac{AD}{BC}$ $\blacksquare$

Sr Đạt nha :( Làm mất thời gian của cậu :lol:

 

Cách 2:(ít tính toán hơn)

 

CDXY nội tiếp.png

Gọi $Z,M$ là trung điểm của $CD,AB$.Ta có 

 

Hai tam giác $EZC$ và $EMB$ đồng dạng nên $EZ$ là đường đối trung của tam giác $EAB$.

 

Vậy $E,Z,Y$ thẳng hàng.

 

Gọi $I$ là trung điểm của $SE$ thì $M,Z,I$ thẳng hàng do cùng nằm trên trung trực của $CD$.

 

Vẽ $SX$ vuông góc $CD$ thì ta phải chứng minh $C,D,Y,X$ đồng viên.

 

Ta có $(KT,ES)=-1$ và $I$ là trung điểm của $SE$ nên dễ dàng suy ra $\frac{\overline{KE}}{\overline{KT}}=\frac{\overline{KI}}{\overline{KS}}$

 

Với $K$ là giao của $SE$ và $AB$.Hay $SK\perp AB$.

 

Suy ra $\frac{\overline{DE}}{\overline{DT}}=\frac{\overline{DI}}{DS}=\frac{\overline{KM}}{\overline{KX}}$

 

Suy ra $TX//EM$ hay $\widehat{EMA}=\widehat{TXY}$

 

Mà $\Delta ZED\sim \Delta MEA\Rightarrow \widehat{EZD}=\widehat{EMA}$

 

Vậy $\widehat{EZD}=\widehat{TXY}$ nên $T,Z,X,Y$ đồng viên.

 

Gọi $G$ là giao điểm của $CD$ và $AB$ thì

 

$\overline{GY}.\overline{GX}=\overline{GT}.\overline{GZ}=\overline{GK}.\overline{GM}=\overline{GA}.\overline{GB}=\overline{GD}.\overline{GC}$

 

(hệ thức Maclauranh).

 

Vậy $C,D,Y,X$ đồng viên.Ta có dpcm :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 30-05-2013 - 16:12


#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cảm ơn Hoàn vì cách 2 nhé hì hì, sa0 cậu không vẽ hình bằng GSP rồi chụp ảnh màn hình, lưu lại và đăng lên. Làm như thế được hình đẹp hơn nhiều :P


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#7
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Cảm ơn Hoàn vì cách 2 nhé hì hì, sa0 cậu không vẽ hình bằng GSP rồi chụp ảnh màn hình, lưu lại và đăng lên. Làm như thế được hình đẹp hơn nhiều :P

Tớ vẫn vẽ  bằng GSP mà.Chụp màn hình sau đó lưu vào Paint thì nó ra thế này.. :(



#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Tớ vẫn vẽ  bằng GSP mà.Chụp màn hình sau đó lưu vào Paint thì nó ra thế này.. :(

Em vào trong Hiển thị, chỉnh kiểu điểm là nét TB, kiểu nét là nét mảnh 1 thì sẽ đẹp hơn :D
Còn muốn đặt tên cho điểm thì chọn cái chữ A ở thanh bên trái, rồi kích đúp vào điểm cần đặt tên. Nó hiện ra hộp thoại, em điền tên muốn đặt vào rồi ấn ok thôi ;)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Em vào trong Hiển thị, chỉnh kiểu điểm là nét TB, kiểu nét là nét mảnh 1 thì sẽ đẹp hơn :D
Còn muốn đặt tên cho điểm thì chọn cái chữ A ở thanh bên trái, rồi kích đúp vào điểm cần đặt tên. Nó hiện ra hộp thoại, em điền tên muốn đặt vào rồi ấn ok thôi ;)

Sao trong cái GPS của em chỗ hiển thị kiểu đường của các hình nó chỉ có nét đứt,nét thanh,nét đậm nhỉ...Ko có nét mảnh 1 như của anh :(



#10
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Sao trong cái GPS của em chỗ hiển thị kiểu đường của các hình nó chỉ có nét đứt,nét thanh,nét đậm nhỉ...Ko có nét mảnh 1 như của anh :(

Bản nào cũng có chứ em. Nếu không thì em lên mạng down bản 5.0 hoặc 4.07 về xài cũng được. Có cả hướng dẫn bằng hình ảnh trên đấy đấy.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#11
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Bản nào cũng có chứ em. Nếu không thì em lên mạng down bản 5.0 hoặc 4.07 về xài cũng được. Có cả hướng dẫn bằng hình ảnh trên đấy đấy.

Thanks anh Hân nhé :lol: Lỗi tại cái phần mền của em.Em down bản khác rồi. :lol:







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: geometry

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh