Chủ đề này có 31 trả lời

[Oral1020]

Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng là nội dung thường gặp trong các đề thi chọn lọc học sinh giỏi toán lớp 8;9,thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên,năng khiếu.Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng đối với một số bạn học sinh THCS còn hơi xa lạ và chưa được làm quen nhiều.Nên mình xin mở ra TOPIC Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng THCS để giúp các bạn làm quen với nó và không còn e ngại khi gặp những bài toàn này

 

Mong các bạn ủng hộ

 

[trauvang97]

Mình xin đóng góp cho topic bài toán:

 

Bài toán 1: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đường chéo $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $AD$ tại $Q$. Chứng minh rằng:

 

                               $\frac{1}{MP^{2}+MQ^{2}}\leq \frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{CD^{2}}$

 

Đẳng thức xảy ra khi nào???

[Oral1020]

Bài 2:Cho $\widehat{xAy}=60^o$.B là điểm trên tia $Ax$,$C$ là điểm trên tia $AY$.($B \neq A,C \neq A$).Chứng minh rằng:

$$AB+AB \le 2BC$$

Bài 3:Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và một đường tròn $(O)$ tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $B$ và $C$.

Từ $M$ trên cung $BC$ vẽ $MA_1;MB_1;MC_1$ lần lượt vuông góc với $BC,AC,AB$ ($A_1 \in BC,B_1\in AC,C_1 \in AB$)

Xác định vị trí của điểm $M$ để $MA_1.MB_1.MC_1$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 30-05-2013 - 20:59

[trauvang97]

Bài toán 2: Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

 

    $AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}\geq 2\sqrt{3}S_{ABCD}+\frac{AC^{2}-BD^{2}}{2}$

[Oral1020]

Bài toán 2: Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

 

    $

 

Mình xin đóng góp cho topic bài toán:

 

Bài toán 1: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đường chéo $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $AD$ tại $Q$. Chứng minh rằng:

 

                               $\frac{1}{MP^{2}+MQ^{2}}\leq \frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{CD^{2}}$

 

Đẳng thức xảy ra khi nào???

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:

$(AB^2+CD^2)(MP^2+MQ^2) \ge (AB.MQ+CD.MP)^2$

Ta lại có:

$\dfrac{AB.MQ+CD.MP}{AB.DC}=\dfrac{MQ}{DC}+\dfrac{MP}{AB}$

Mà theo định lí Talet thì ta dễ dàng chỉ ra được:

$\dfrac{MQ}{DC}+\dfrac{MP}{AB}=1$

$\Longrightarrow AB.MQ+CD.MP=AB.DC$

$\Longrightarrow (AB.MQ+CD.MP)^2 \ge AB^2.DC^2$

$\Longrightarrow (AB^2+CD^2)(MP^2+MQ^2) \ge AB^2.DC^2$

$\Longrightarrow \dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{CD^2} \ge \dfrac{1}{MQ^2+MP^2}$

Đẳng thức xảy ra khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành và $M$ là trung điểm của $AC$

Có sai sót gì mong mọi người góp ý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 30-05-2013 - 21:25

[AnnieSally]

Cho (O;R), BC là dây cố định (BC<2R). A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác ABC đạt GTLN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 01-06-2013 - 14:43

[AnnieSally]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Ở phía ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC. Một đường thẳng d đi qua A cắt hai nửa đường tròn tại M, N(khác A). Xác định vị trí của d để tứ giác BCNM có chu vi lớn nhất

 

 

 

Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 31-05-2013 - 10:12

[AnnieSally]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và G là trọng tâm tam giác. Các đường trung tuyến từ các đỉnh A,B,C lần lượt cắt (O) tại A1,B1,C1. Hãy xác định hình dạng của tam giác ABC để$\frac{1}{GA_{1}}+\frac{1}{GB_{1}}+\frac{1}{GC_{1}}$ là lớn nhất

[AnnieSally]

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên ác cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho BK:KC=4:1; CM:MD=4:1. Tìm tỉ số AB:BC để số đo $\widehat{KAM}$ lớn nhất

 

 

Cho công thức biến đổi: $tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgx.tgy}$

[AnnieSally]

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1, điểm M nằm trên đường chéo BD.

a) Nêu cách đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AD và CD. Nêu cách dựng (K) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AB,AC

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường tròn không đổi 

c) Xác định vị trí điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình tròn đạt GTNN

[AnnieSally]

Gọi A' là điểm chính giữa cung lớn BC

Khi A$\equiv$A' thì S$_{ABC}$ đạt GTLN

Thật vậy: S$_{ABC}$$= \frac{A'M.BC}{2}$

Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC)

$\Rightarrow$ AM<AH

Tam giác AOM có: AM<OM+OA

                              AM<OM+OA'

                              AM<A'M

Vậy AH<A'M thì S$_{ABC}$<S$_{A'BC}$

Vậy khi M là trung điểm của BC thì diện tích tam giác ABC đạt GTLN

[nhjm nhung]

Một tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c thõa mãn (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (c+a-b)³ = a³ + b³ +c³ .

Chứng minh tam giác đó là tam giác đều

[tuannguyenhue1]

 

Một tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c thõa mãn (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (c+a-b)³ = a³ + b³ +c³ .

Chứng minh tam giác đó là tam giác đều

 

ta có bài toán tương đương với $\sum ab(a+b)\doteq 6abc$ mà $\sum ab(a+b)\geq 6abc$ nên đây là tam giác đều

[Hung Ton]

BÀI 4

Cho tam giác ABC. M nằm trong tam giác. MD:ME;MF lần lượt vuông góc với BC;CA:AB. ĐẶt BC=a; CA=b; AB=c. MD=x; ME=y; MF=z

Tính MIN A=$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hung Ton: 04-06-2013 - 21:49

[nghiemthanhbach]

bạn hungton viết lại dạng latex đi, nếu k chã ai làm đâu

nhưng thôi để mình xem

[nghiemthanhbach]

à ra rồi

lời giải đây!

hình tự vẽ đi

$Ta$ $có:$ $ ax+by+cz=2S(ABC)$ (tính S từng tam giác nhỏ là được)

$áp$ $dụng$ $bđt$ $b.c.s$ $có:$

$(ax+by+cz)(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})\geq (a+b+c)^2$

$=>\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{((a+b+c)^2)}{ax+by+cz}$

$<=>\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{((a+b+c)^2)}{2S_{ABC}}$

$vậy$ $ min$ $ là$ $ dấu$ $ =$ $ xảy$ $ ra$ $ khi$ $ M$ $ là$ $ tâm$ $ đường$ $ tròn$ $ nội$ $ tiếp$

chúc vui vẻ ~.~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 03-09-2013 - 09:06

[faith94]

Các bạn oi làm giúp mình bài này với:

Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R.căn2. Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng (MA + căn2 x MB) đạt giá trị nhỏ nhất.

[pcfamily]

Mượn anh Perfectstrong cái hình

 

Vẽ đường thẳng $OA$ giao $(O)$ tại $C,D$ và $C$ nằm giữa $O,A$
Trên đoạn $OC$ lấy $I$ sao cho $R={\sqrt 2}OI \Rightarrow \dfrac{OI}{OM}=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{OM}{OA}$           
 $\Rightarrow \vartriangle OMI \sim \vartriangle OAM (c.g.c) \Rightarrow MA=\sqrt 2 MI$
$\Rightarrow MA+\sqrt 2 MB=\sqrt 2(MI+MB) \geq \sqrt 2 IB$
Dấu bằng xảy ra khi $M=IB\bigcap (O)$

Vậy $Min(MA+\sqrt{2}MB)=IB \Leftrightarrow M=IB\bigcap (O)$

 

P/s: Bạn này chắc ở Phú Xuyên thi sáng nay hở

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcfamily: 19-10-2013 - 23:00

[binhnhat123]

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a; BC=2AB. Dựng nửa tam giác đều DEF có góc EDF=90⁰ sao cho D thuộc BC, E thuộc Ab và F thuộc AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác DEF.

[congchuasaobang]

Câu 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H

                  a, C/m: AE // BH

                  b, Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt  CE tại I. Tính diện tích $\Delta FID$  trong trường hợp tam giác đó đều ? ( Với $sin 15^{\circ}\approx 0,2588$ )Δtrong trường hợp tam giác đó đều? ( Với sin15∘≈0,2588

                  c, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AF và BH. Xác định ví trí của C để tổng các khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất

 

Câu 2: Trên 3 cạnh  AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k$. Tìm k để $S \Delta MNP = \frac{5}{8} S\Delta ABC$