SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi có 01 trang, 5 câu)
Câu 1.
a. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4}{y^2}=4\\ x-\frac{2}{y}-\frac{4x}{y}=-2 \end{matrix}\right.$
b. Giải phương trình $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^2+8x})=16(x-1)$
Câu 2.
a. Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6\\ (x-1)^3+(y-2)^3+(z-3)^3=0 \end{matrix}\right.$
Tính giá trị của biểu thức $F=(x-1)^{2013}+(y-2)^{2013}+(z-3)^{2013}$
b. Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2$.
Chứng minh rằng $x^2-4xy+6y^2+2x\geq 6$
Câu 3. Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^2+b^2+c^2$ là số nguyên tố.
Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC=a$, góc $\widehat{BAC}=120^o$. Ký hiệu $(A;AB)$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $AB$. Các tiếp tuyến của $(A;AB)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $D$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(A;AB)$ ($M$ khác $B,C$). Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(A;AB)$ cắt $DB,DC$ lần lượt tại $E,F$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $AE,AF$ với đường thẳng $BC$.
a. Chứng minh $ABEQ$ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn và các đường thẳng $AM,EQ,FP$ đồng quy.
b. Xác định vị trí của $M$ trên cung nhỏ $BC$ của $(A;AB)$ để diện tích tam giác $APQ$ nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo $a$.
Câu 5. Từ một đa giác đều $15$ đỉnh, ta chọn ra $7$ đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có $3$ đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là $3$ đỉnh của một tam giác cân.
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..............................................................................Số báo danh................................