Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{Topic}$Tìm các chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Chuyên đề tìm các chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa. 

 

 

 

Lời mở đầu: Chuyên đề tìm chữ số tận cùng hiện vẫn là 1 vấn đề mà học sinh hiện nay ít quan tâm. Mình nêu ra vấn đề này là mong các bạn đóng góp thật sôi nổi, làm cho topic có chất lượng...Và sau đây là 1 số yêu cầu của mình:

$\triangleright$ Trong topic khi giải 1 bài phải kèm theo trích dẫn đề bài, giải xong bài này mới tiếp khác, sau 1  ngày mà chưa có lời giải thì người ra đề công bố đáp án.

$\triangleright$ Trong topic không được spam như: mình cám ơn..,

$\triangleright$ Khi giải phải trình bày rõ ràng, không viết tắt, phải gõ công thức toán,..khi ai giải đúng đề nghị like mạnh chút( cho topic sôi nổi ấy mà )

Trên đó là 1 số đề nghị của mình, mong topic sẽ đem lại nhiều bổ ích cho các bạn.

 

A.Kiến Thức Cơ Bản

 

I.Dấu hiệu nhận biết chữ số tận cùng:

$\triangleright$ Tích của 2 số tự nhiên có tận cùng là $0,2,6$.

$\triangleright$  Một số chính phương có tận cùng là $0,1,4,5,6,9$.

$\triangleright$ $0^{n},1^{n},5^{n},6^{n}$ thứ tự có tận cùng là $0,1,5,6$

$\triangleright$ $25^{n},76^{n}$ có thứ tự hai chữ số tận cùng là $25,76$

$\triangleright$ $376^{n},625^{n}$ có 3 chữ số tận cùng là $376,625$.

Nhận xét rằng $2^{4k}=16^{k}$, $3^{4k}=81^{k}$, $7^{4k}=2401^{k}$, $8^{4k}=4096^{k}$, $9^{2k}=81^{k}$

 

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là 0 thì $a^{n}$ có tận cùng là $n$ chữ số $0$.

$\triangleright$ Tìm một, hai, ba ,... chữ số tận cùng của một số chính là tìm số dư trong phép chia số đó cho $10,100,1000,...$

Dạng 1: Tìm một chữ số tận cùng của $a^{n}$

 

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của $3008^{2011}$

 

Lời giải: Ta cần tìm chữ số tận cùng của $8^{2011}$

Do $2011=4.502+3$, nên 

$8^{2011}=8^{4.502}.8^3 \equiv 2(mod 10)$. Vậy $3008^{2011}$ có chữ số tận cùng là $2$.

 

Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng của $a^{n}$

Phương pháp: ta chia $n$ cho $20$ thì:

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $1,3,7,9$ thì $a^{20k}$ có hai chữ số tận cùng là $01$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $2,4,6,8$ thì $a^{20k}$ có hai chữ số tận cùng là $76$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $5$ thì $a^{20k}$ có 2 chữ số tận cùng là $25$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $0$ thì $a^{20k}$ có 2 chữ số tận cùng là $00$.

 

Dạng 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của $a^{n}$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $1,3,7,9$ thì $a^{100}-1$ chia hết cho $1000$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $2,4,6,8$ thì $a^{100}-376$ chia hết cho $1000$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $5$ thì $a^{100k}$ có 3 chữ số tận cùng là $625$

$\triangleright$ Nếu $a$ có tận cùng là $0$ thì $a^{100k}$ có 3 chữ số tận cùng là $000$.

 

B.Bài tập vận dụ

 

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng

 

a) $3^{2009}$

b) $888^{88^{8}}$

c)$777^{777}$

 

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của

a) $17^{5^{12}}$

b) $2009^{3000}$

c) $7^{9^{9}}$

 

Bài 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của

a) $3^{100}$

b) $2^{9^{1993}}$

 

Bài 4: 

Tìm 4 chữ số tận cùng của $5^{2009}$

 

Bài 5: Tìm 5 chữ số tận cùng của $5^{2013}$

 

Bài 6: Tìm 7 chữ số tận cùng của $9999^{999^{99^{9}}}$ 

 

Bài 7: Tìm 3 chữ số tận cùng của $1993^{19941995...2000}$

 

Bài 8 Tìm 6 chữ số tận cùng của $5^{21}$

 

Bài 9:    Tìm hai chữ số tận cùng của 

$S=2^3+2^{23}+...+2^{40023}$

 

Bài 10   Tìm 3 số tận cùng của 

$S=1^{2004}+2^{2004}+...+2003^{2004}$

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 22:17

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

$3^{4}$ chia 10 dư 1 suy ra $3^{2009}=(3^{4})^{502}.3$ chia 10 dư 3 

vậy số đó tận cùng là 3 các câu còn lại trong bài 1 tương tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 16-06-2013 - 21:56

tàn lụi


#3
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

chắc với các dạng tìm n chữ số tận cùng thì ta tìm đồng dư của số đó cho $10^{n}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 21:54

tàn lụi


#4
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

chắc với các dạng tìm n chữ số tận cùng thì ta tìm đồng dư của số đó cho $10^{n}$

Uhm! đó là cách cơ bản mà...


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5
datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng

a) $3^{2009}$

b) $888^{88^{8}}$

c)$777^{777}$

1a)

$3^{2009}=3^{4k+1}=81^{k}.3\equiv 3(mod10)$=>$3^{2009}$ có tận cùng là 3

b)dễ thấy $88^8= 4k=>888^{88^{8}}=888^{4k}\equiv 8^{4k}\equiv 6(mod10)$=>$888^{88^{8}}$ có tận cùng là 6

 

c)tương tự   $777^{777}$ có tận cùng là 9


                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#6
Tmath1802

Tmath1802

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Ai giúp em tìm chữ số tận cùng của $7^{99}$

Vì câu này em thắc mắc mà trong chuyên đề Tìm số tnậ cùng của một lũy thừa lại ghi khác.

Nếu được mong anh/chị nào trên diễn đàn có thể cung cấp cho em một link "Tìm số tận cùng của lũy thừa" chính xác vì em cần thi Violympic 7

Trên đây em cũng rất muốn copy về xem nhưng về thì từ  $g^{t}$ lại trở thành gt.



#7
lequocminh1999

lequocminh1999

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

$7^{99}= 7^{3}.7^{96}= 343. (7^{4})^{24}=343. (...1)^{24}$

Mà một số có đuôi 1 thì khi mũ n lên sẽ luôn có tận cùng là 1

nên $7^{99}$ có đuôi là ...3



#8
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Ai giúp em tìm chữ số tận cùng của $7^{99}$

Vì câu này em thắc mắc mà trong chuyên đề Tìm số tnậ cùng của một lũy thừa lại ghi khác.

Nếu được mong anh/chị nào trên diễn đàn có thể cung cấp cho em một link "Tìm số tận cùng của lũy thừa" chính xác vì em cần thi Violympic 7

Trên đây em cũng rất muốn copy về xem nhưng về thì từ  $g^{t}$ lại trở thành gt.

Ở đây nêu cách tìm chữ số tận cùng khá chi tiết, bạn có thể tham khảo thêm
http://violet.vn/cha...ntry_id/7650024



#9
Tmath1802

Tmath1802

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Ở đây nêu cách tìm chữ số tận cùng khá chi tiết, bạn có thể tham khảo thêm
http://violet.vn/cha...ntry_id/7650024

Cái này em đã download trước đó nhưng về máy thì có một số chỗ bị mã hóa thành hình vuông.
Dù sao cũng cảm ơn anh.

$7^{99}= 7^{3}.7^{96}= 343. (7^{4})^{24}=343. (...1)^{24}$
Mà một số có đuôi 1 thì khi mũ n lên sẽ luôn có tận cùng là 1
nên $7^{99}$ có đuôi là ...3

Cảm ơn anh, em dựa vào nội dung chuyên đề cũng ra 3 nhưng rà lại bài tập thì thấy không khớp. VẬy suy ra đáp án chuyên đề sai

#10
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Ai giúp em tìm chữ số tận cùng của $7^{99}$

Vì câu này em thắc mắc mà trong chuyên đề Tìm số tnậ cùng của một lũy thừa lại ghi khác.

Nếu được mong anh/chị nào trên diễn đàn có thể cung cấp cho em một link "Tìm số tận cùng của lũy thừa" chính xác vì em cần thi Violympic 7

Trên đây em cũng rất muốn copy về xem nhưng về thì từ  $g^{t}$ lại trở thành gt.

Cái này dùng mod(10) thì nhanh hơn. Nhưng cách của bạn Lê Quốc Minh giải cũng hay



#11
Tmath1802

Tmath1802

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Em giải như anh Lê Quốc Minh vì em chưa học mod cách này hồi lớp 6 có dùng giờ em đang lớp 7



#12
bauvatx3

bauvatx3

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Nhức đầu quá giải mấy bài vận dụng chả giải được bài nào :(


ID VTC hệ thống tài khoản VTC id cung cấp dịch vụ Nap Vcoin miễn phí bởi eBank VTC


#13
Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Bài 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của

a) $3^{100}$

b) $2^{9^{1993}}$

a/Ta có:

$3^{10}\equiv 49(mod 1000)$

$3^{20}\equiv 401(mod 1000)$

$3^{40}\equiv 801(mod 1000)$

$3^{50}\equiv 249(mod 1000)$

$3^{100}\equiv 1(mod 1000)$

Vậy 3 chữ số tận cùng của 3100 là 001

b/Ta có:

$2^{9^{1}}\equiv 512(mod 1000)$

$2^{9^{2}}\equiv 352(mod 1000)$

$2^{9^{3}}\equiv 912(mod 1000)$

$2^{9^{4}}\equiv 952(mod 1000)$

$2^{9^{5}}\equiv 312(mod 1000)$

$2^{9^{6}}\equiv 552(mod 1000)$

$2^{9^{7}}\equiv 712(mod 1000)$

$2^{9^{8}}\equiv 152(mod 1000)$

$2^{9^{9}}\equiv 112(mod 1000)$

$2^{9^{10}}\equiv 752(mod 1000)$

$2^{9^{11}}\equiv 512(mod 1000)$

$\Rightarrow$Chu kì lặp lại sau 10 lần. 

Lại có $1993\equiv 3(mod 10)$

Vậy 3 chữ số tận cùng của số $2^{9^{1993}}$là 912


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 15-11-2013 - 16:41

                    What doesn't kill you makes you stronger


#14
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Bài 8 Tìm 6 chữ số tận cùng của $5^{21}$

Ta có : $5^{10}\equiv 765625(mod10^{6})$

$5^{20}=(5^{10})^{2}\equiv 765625^{2}=1225^{2}.625^{2}\equiv 500625.390625=195556640625\equiv 640625(mod10^{6})$

$\Rightarrow 5^{21}=5^{20}.5\equiv 640625.5\equiv 203125(mod10^{6})$

Suy ra $6$ chữ số tân cùng của $5^{21}$ là $203125$



#15
nguyenxuanthinh59

nguyenxuanthinh59

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

yup


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthinh59: 22-12-2013 - 18:10


#16
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Tìm 2 chữ số tận cùng trong phần cơ sở của:

[$\sqrt{2}+^{\sqrt{3}}$]$^{2015}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh