Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:
Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 20-06-2013 - 22:06
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:
Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 20-06-2013 - 22:06
EM YÊU BÁC HỒ.....
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:
Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$
Đầu tiên ta có bổ đề hết sức quen thuộc sau $ab^2+bc^2+ca^2+abc \leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$
Khai triển trực tiếp ta thu được $4(a^3+b^3+c^3)+12(a^2b+b^2c+c^2a) \geqslant 15(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$ (*)
Trở lại bài toán ta sẽ đồng bậc bất đẳng thức, sử dụng $a+b+c=3$, ta cần chứng minh
$2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geqslant \frac{19}{27}(a+b+c)^3$
Khai triển và thu gọn ta cần chứng minh
$\frac{8}{27}(a^3+b^3+c^3)+2(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant \frac{10}{9}\sum ab(a+b)+\frac{2}{9}abc$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+27(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant 15\sum ab(a+b)+3abc$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+12(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant 15(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$
Sử dụng bổ đề (*) ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Đầu tiên ta có bổ đề hết sức quen thuộc sau $ab^2+bc^2+ca^2+abc \leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$
Khai triển trực tiếp ta thu được $4(a^3+b^3+c^3)+12(a^2b+b^2c+c^2a) \geqslant 15(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$ (*)
Trở lại bài toán ta sẽ đồng bậc bất đẳng thức, sử dụng $a+b+c=3$, ta cần chứng minh
$2(a^2b+b^2c+c^2a)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geqslant \frac{19}{27}(a+b+c)^3$
Khai triển và thu gọn ta cần chứng minh
$\frac{8}{27}(a^3+b^3+c^3)+2(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant \frac{10}{9}\sum ab(a+b)+\frac{2}{9}abc$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+27(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant 15\sum ab(a+b)+3abc$
$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+12(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant 15(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$
Sử dụng bổ đề (*) ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
sao em thấy nó chả liên quan chỉ rõ cho em đc ko
tàn lụi
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:
Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$
Ta có thể làm như sau:
Ta có: $VP=3(a+b+c)^{2}-8=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6(ab+bc+ac)-8$
BĐT cần chứng mình tương đương:
$(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+2abc+4\geq 3(ab+bc+ac)$(1)
Mặt khác:$3(ab+bc+ac)= (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+3abc$
(1)$\Leftrightarrow$$(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+abc\leq 4$(2)
Do vai trò a,b,c như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c$
Ta có: $a(b-a)(b-c)\leq 0$
$\Leftrightarrow a(b^{2}-bc-ab+ac)\leq 0$
$\Leftrightarrow ab^{2}-abc-a^{2}b+a^{2}c\leq 0$
$\Leftrightarrow ab^{2}+a^{2}c\leq abc+a^{2}b$
Thế vào (2): VT(2)$\leq a^{2}b+bc^{2}+2abc=b(a^{2}+c^{2}+2ac)$
$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}$
$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}\leq 4(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^{3}(AM-GM 3 số)$
$= 4(\frac{a+b+c}{3})^{3}=4=VP$ (Do a+b+c=3)
Suy ra điều phải cm.
ĐTXR khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 21-06-2013 - 22:58
Ta có thể làm như sau:
Ta có: $VP=3(a+b+c)^{2}-8=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6(ab+bc+ac)-8$
BĐT cần chứng mình tương đương:
$(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+2abc+4\geq 3(ab+bc+ac)$(1)
Mặt khác:$3(ab+bc+ac)= (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+3abc$
(1)$\Leftrightarrow$$(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+abc\leq 4$(2)
Do vai trò a,b,c như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c$
Ta có: $a(b-a)(b-c)\leq 0$
$\Leftrightarrow a(b^{2}-bc-ab+ac)\leq 0$
$\Leftrightarrow ab^{2}-abc-a^{2}b+a^{2}c\leq 0$
$\Leftrightarrow ab^{2}+a^{2}c\leq abc+a^{2}b$
Thế vào (2): VT(2)$\leq a^{2}b+bc^{2}+2abc=b(a^{2}+c^{2}+2ac)$
$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}$
$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}\leq 4(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^{3}(AM-GM 3 số)$
$= 4(\frac{a+b+c}{3})^{3}=4=VP$ (Do a+b+c=3)
Suy ra điều phải cm.
ĐTXR khi a=b=c=1
T ko hiểu chỗ phân tích đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 21-06-2013 - 22:58
EM YÊU BÁC HỒ.....
Tuy không ảnh hưởng đến bài làm nhưng không thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ được vì vai trò của $a,b,c$ không như nhau
Khi hoán vị vòng quanh thì bài toán vẫn vậy mà anh. Vai trò 3 ẩn như nhau mà.
Khi hoán vị vòng quanh thì bài toán vẫn vậy mà anh. Vai trò 3 ẩn như nhau mà.
Đã là hoán vị vòng quanh thì không thể giả sử $a\geq b\geq c$ bạn ạ
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$:
Chứng minh rằng : $2(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a )+ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 4abc\geq 19$
Bài này có thể làm như sau:
BĐT đã cho tương đương với $2(a^2b+b^2c+c^2a)+2(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc+3(a^2+b^2+c^2)\geq 19+2abc+2(ab^2+bc^2+ca^2)\Leftrightarrow 2(a+b+c)(ab+bc+ca)+3(a^2+b^2+c^2)\geq 19+2abc+2(ab^2+bc^2+ca^2)\Leftrightarrow 6(ab+bc+ca)+3(a^2+b^2+c^2)\geq 19+2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\Leftrightarrow 3(a+b+c)^2\geq 19+2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\Leftrightarrow 27\geq 19+2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$
Chứng minh BĐT này rất đơn giản. Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa $a$và $c$.Ta có $ab^2+bc^2+ca^2+abc-b(a+c)^2=a(b-a)(b-c)\leq 0$ (vì $b$ là số nằm giữa), suy ra $ab^2+bc^2+ca^2=abc\leq b(a+c)^2$ (1)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b(a+c)(a+c)\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{2b+a+c+a+c}{3} \right ]^3=4$ (2)
Từ (1) và (2) ta có ngay đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 23-06-2013 - 00:35
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh