pumpumt

tổng 4 môn á, mình nghĩ thế là trượt chuyên toán rồi, chắc mình cũng trượt

Có thể theo cách này: Ngẫu nhiên lại ra
Bình phương 2 vế của điều kiện ta có
$xy(x-y)^2=(x+y)^2$
$\Leftrightarrow xy\left [ (x+y)^2-4xy \right ]=(x+y)^2$
$\Leftrightarrow 4(xy)^2-(xy)(x+y)^2+(x+y)^2=0$
Đây là phương trình bậc 2 ẩn xy tham số x+y
Xét $\Delta=(x+y)^2(x+y+4)(x+y-4)$
Do tồn tại x,y thỏa mãn yêu cầu nên pt có nghiệm hay delta >=0
$\Rightarrow x+y\geq 4$

P/s: liệu phần c bài hình trên có sai đề ko vậy nhỉ? m` vẽ hình thấy cứ sai thế nào í

đề đúng mà

năm ngoái chuyên toán sư phạm lấy bao nhiêu điểm vậy mọi người?
Bài 5:
bình phương 2 vế ta được:
$xy\left ( x-y \right )^{2}= \left ( x+y \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( xy-1 \right )\left ( x+y \right )^{2}= 4x^{2}y^{2}\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}= \frac{4x^{2}y^{^{2}}}{xy-1}\geq 16$ bất đẳng thức cauchy

ta có bất đẳng thức sau
$\frac{a^{m}+b^{m}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{m}$
ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng quy nạp
áp dụng ta được $\frac{2^{k}}{(a+b)^{k}}\geq \frac{2}{a^{k}+b^{k}}$$\sum \frac{a^{k}}{\left ( c+b \right )^{k}}\geq \sum \frac{a^{k}}{2^{k-1}\left ( c^{k} +b^{k}\right )}\geq \frac{1}{2^{k-1}} \left ( \sum \frac{a^{k}}{b^{k}+c^{k}} \right )\geq \frac{1}{2^{k-1}}\times \frac{3}{2}= \frac{3}{2^{k}}$

cho 3 góc nhọn a,b,c thỏa mãn cos$\sum cos^{2}a\geq 2$
chứng minh rằng
$\left ( tana\times tanb\times tanc \right )^{2}\leq \frac{1}{8}$

Gõ tiêu đề cẩn thận.

bài 1;
cho a thỏa mãn $a^{2}\leq 3$
tìm min
$\frac{a^{6}-10a^{5}+19a^{4}+62a^{3}-151a^{2}-96a+257}{a^{3}-5a^{2}-3a+16}$
bài 2
cho a,b,c >0
chứng minh rằng
$\sum \frac{a}{b^{3}+c^{3}}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài 2:(phải là x,y dương chứ nhỉ)
A=$x^{4}+y^{4}+x^{4}y^{4}+1= \left ( \left ( x+y \right )^{2} -2xy\right )^{2}-2x^{2}y^{2}+x^{4}y^{4}+1= (10-2xy)^{2}-2x^{2}y^{2}+x^{4}y^{4}=\left ( x^{2}y^{2} -4\right )^{2}+10\left ( xy-2 \right )^{2}+45\geq 45$
dấu bằng xảy ra khi x,y=$\frac{\sqrt{10}\pm \sqrt{2}}{2}$

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Tìm min
A=$4\left ( a^{3} +b^{3}+c^{3}\right )+15abc$
Gõ tiêu đề cẩn thận.

Bài 18: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt các tiếp tuyến tại B và C lần lượt ở S,T. BT cắt AC tại E, CS cắt AB ở F. M,N là trung điểm BE. CF. Chứng minh góc CBN=gócBCM

không được làm kiểu đại số à
thế thì gọi số cây có sẵn là 20 phần thì số cây đợt 1 là 4 phần, sau đợt 1 có 24 phần nên đợt 2 là 4 phần, sau đợt 2 có 28 phần nên đợt 3 là 7 phần
từ đó có sau 3 đợt là 35 phần ứng với 175 cây
suy ra 20 phần là 100 cây
(nhưng sao nhà toán học tương lai lại hỏi bài này vậy)

Câu 2:

2) Cho p là số nguyên tố thỏa mãn $p^3-6$ và $2p^3+5$ là số nguyên tố. CMR: $p^2+10$ là số nguyên tố.

Câu 2.2
với $p=2,3,5$ thì $p^{3}-6$ và $2p^{3}+5$ không đồng thời là số nguyên tố
với $p>7$
$p \equiv \pm 1,\pm 2,\pm 3 \left(mod 7)$
$\Rightarrow p^{3}\equiv \pm 1(mod 7)$
khi đó $p^{3}-6$ hoặc $2p^{3}+5$ sẽ chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên nó không là số nguyên tố
$\Rightarrow p=7$
khi đó $p^{2}+10=59$ là số nguyên tố

Bài 2:(hình như thiếu điều kiện x là max)
A=$\frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{}z} +\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}\geq \frac{x}{y}+\sqrt{2}\times ^\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{z}{x}}= \frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{y}+4\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\frac{z}{x}} \right )+\left ( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right )\frac{x}{y}+\left ( \sqrt[3]{2}-\frac{6}{2\sqrt{2}} \right )\sqrt[6]{\frac{z}{x}}$
áp dụng cauchy ta được
$\frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{y} +4\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\frac{z}{x}}\right )\geq \frac{11}{2\sqrt{2}}\sqrt[11]{\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}}= \frac{11}{2\sqrt{2}}$
lại có x là max(x,y,z) nên $\frac{x}{y}\geq 1\geq \frac{z}{x}$
nên $1-\frac{1}{2\sqrt{2}}> 0> \sqrt[3]{2}-\frac{6}{2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow A\geq \frac{11}{2\sqrt{2}}+1-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{2}-\frac{6}{2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$

tổng quát bài 1: cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=x, tìm max A=$a^{n}b+b^{n}c+c^{n}a$
bài giải:
giả sử a=max(a,b,c)
n=0 thì A=3
n=1 thì A$\leq \frac{1}{3}\sqrt{x}$
n$\geq 2$
$b^{n}c\leq a^{n-1}bc$
$c^{n}a\leq a^{n-1}c^{2}$
$c^{n}a\leq a^{n}c$
$\rightarrow A\leq a^{n}b +a^{n-1}bc+a^{n-1}\frac{c^{2}}{2}+\frac{a^{n}c}{2}$
$=a^{n-1}(a+c)(b+\frac{c}{2})$
vì $n\geq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{n-1}{n}$
$\Rightarrow A\leq n^{n}\left ( \frac{a}{n}\times \frac{a}{n}...\times \frac{a}{n}\times \frac{a+c}{n} \times (b+\frac{n-1}{n}c)\right )$
$\Rightarrow A\leq$n^{n}$ \left ( \frac{\frac{n-1}{n}a+\frac{a+c}{n}+b+\frac{n-1}{n}c}{n+1} \right )^{n+1}$
$\Rightarrow A\leq \frac{n^{n}\times x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$
dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow c=0 ; a=\frac{nx}{n+1} ; b=\frac{x}{n+1}$

Mình nói thật với bạn nha, bạn vô topic nào cũng nói dễ mà chả thấy làm nếu bạn làm được thì post cách giải lên cho mọi người cùng tham khảo chứ đừng nói suông như vậy :|

vì mình thấy bạn toanhoclaniemvui đã làm rất đúng ở câu trên rồi mà, cái quỹ tích bạn ấy dùng chính là đường tròn apoloniut đó, có tổng quát cho tỉ số k nữa. từ giờ mình sẽ ko nói suông nữa đâu, xin lỗi nhé (tại gõ mấy cái công thức toán mình lười lười )

Câu 3 ý a chắc các bạn làm được zùi.... à có phải có 2 nghiệm hình đúng không..... M nằm bên phải, bên trái $(O)$.
còn câu b thì mình đọc ở đề thi vào chuyên Chu Văn An-HN AMD năm 1995-1996 câu 5 ý a nên cũng làm được. (Ghê thật chọn ngay bài từ cái năm mình còn chưa sinh ra ). Mình xin tóm gọn như sau:
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ là trung điểm của $OM$ ( do tứ giác $MNOP$ nội tiếp). Gọi $X$ và $Y$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$ thì $I$ di chuyển trên đường cố định đi qua $x$ và $Y$ trừ ra nhừng điểm thuộc đoạn $XY$.

mình thì nghĩ lấy trung điểm AB là H sau đấy ngũ giác MNOHP nội tiếp thì suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp luôn chạy trên trung trực OH cố địnhvà nằm ở miền ngoài tam giác OAB vậy đỡ phải gọi tên nhiều