Đến nội dung

Tru09

Tru09

Đăng ký: 13-05-2012
Offline Đăng nhập: 10-05-2017 - 15:42
***--

Trong chủ đề: Topic ôn luyện VMO 2015

09-11-2014 - 23:43

Bài 12: Cho một ngôi trường có $n$ khóa học và $n$ học sinh. Các học sinh đăng kí vào lớp học, không có $2$ học sinh nào tham gia các khóa học hoàn toàn giống nhau. CMR: ta có thể đóng cửa một khoá học sao cho vẫn không có hai học sinh nào tham gia các khoá học hoàn toàn giống nhau.

 

Bài 12:

Xét đồ thị với mỗi học sinh là 1 đỉnh , 2 đỉnh được nối với nhau nếu khi đóng  lớp học thứ i (i=1,n) thì 2 học sinh ấy tham gia các khóa học hoàn toàn giống nhau. Và tô màu của đoạn thẳng đó là màu i

Giả sử ngược lại , không thể đóng cửa 1 khóa học nào mà k tồn tại 2 hs tham gia các khóa học hoàn toàn giống nhau , khi đó tất cả các màu (1,2,..n) đều xuất hiện . xét các đỉnh nối các màu đó ( Ta có thể bỏ các cạnh cùng màu sao cho mỗi màu xuất hiện 1 lần)

Vì $\leq n$ đỉnh , n cạnh luôn tồn tại 1 chu trình

Giả sử chu trình đó là A1 -(i1) -> A2 -(i2) ->A3 ..... Ak - (ik)-> A1

k mất tính tổng quát có thể giả sử A1 tham gia nhiều lớp học hơn A2

Khi đó A2 k tham gia lớp học i1

$\Rightarrow$ A3 k tham gia lớp học i1

$\Rightarrow$ .... Ak k tham gia lớp học i1 $\Rightarrow$ A1 k tham gia lớp học i1

$\Rightarrow$ vô lý

Vậy ta có dpcm 


Trong chủ đề: Topic ôn luyện VMO 2015

07-11-2014 - 23:39

Nếu được đăng thì cho em đăng 1 bài số nhé :))

Bài 17 : 

Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố $(p,q,r)$ thoả :

$$(p^2-7)(q^2-7)(r^2-7)$$

là một số chính phương 

Bài 17

$p^2 -7 \equiv p^2 +1 mod 4$

Nên nếu cả 3 số p,q,r đều k là 2 thì $x^2 =(p^2 -7)(q^2 -7)(r^2 -7) \vdots 8$  và không chia hết cho 16 (vô lý )

Nếu có 1 số là 2 (Giả sử là p ) $\Rightarrow x^2 =-3(q^2 -7)(r^2 -7)$ nên tồn tại đúng 1 số trong q ,r là 2 để VP >0

Giả sử  là $q=2 và r \neq 2 \Rightarrow x^2 =9(r^2 -7)$

$\Rightarrow r^2 - 7 \vdots 2$ mà không chia hết cho 4

$\Rightarrow$ vô lý

Vậy không tồn tại bộ 3 số nguyên tố (p ,q,r) nào thỏa mãn đề bài :D


Trong chủ đề: Topic ôn luyện VMO 2015

07-11-2014 - 16:45

   Mình cũng xin góp 1 bài :

 

 Bài 11: Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ ,$f(0)=0,f(1)=2014$ thỏa mãn:

 

     $(x-y)(f(f^2(x))-f(f^2(y)))=(f(x)-f(y))(f^2(x)-f^2(y))$ với mọi số thực $x,y$

 

@supermember: Nam quăng vào vài bài lý thuyết đồ thị cho nó mới.

Tạm thời dừng ở con số 13 bài đã, không post thêm, chừng nào gỉai xong thì mới đưa đề mới

@LNH: em post 1 bài mới nhé :v

Bài 11 :

$y:=0 \Rightarrow xf(f(x)^2) =f(x)^3$

Thay lại $\Rightarrow (x-y)(\frac{f(x)^3}{x} -\frac{f(y)^3}{y}) =f(x)^3 +f(y)^3 -f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow \frac{x}{y} f(y)^3 +\frac{y}{x} f(x)^3 =f(x)f(y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow f(y)^2(\frac{x}{y} f(y) -f(x)) =f(x)^2 (f(y) -\frac{y}{x} f(x))$

$y:=1 \Rightarrow f(1)^2 (xf(1) -f(x)) =f(x)^2(f(1)x -f(x)) \frac{1}{x}$

$\Rightarrow (xf(1) -f(x))(f(x)^2-f(1)^2x) =0 \forall x \neq 0$

Như vậy với x < 0 thì f(x) =2014x

Mà $xf(f(x)^2) =f(x)^3 \forall x$

cho $x <0 \Rightarrow 2014^3x^3 =f(x)^3 \Rightarrow 2014x=f(x) \forall x <0$

Do đó $f(x) =2014x$

--------------

Bài PTH đầu có thể đếm = 2 cách đại lượng f(y+f(z) +f(x))

Sau đó so sánh ra được

$f(f(x)).f(z) -xyf(z) -zf(x)=f(x)f(f(z)) -yzf(x) -xf(z)$

Thay $y =1 \Rightarrow \frac{f(f(x))}{f(x)} =\frac{f(f(z))}{f(z)} $

$\Rightarrow f(f(x)) =kf(x)$

thay lại hệ thức $f(f(x)) =a f(x) -x$ thì ta có ngay f(x) là hàm bậc nhất

Thay vào đề bài ta có dpcm 


Trong chủ đề: Topic ôn luyện VMO 2015

04-11-2014 - 11:04

Bài 5:  Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:

\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]

Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ .

 

 

Đặt $ x_n =\frac{a_n}{n}$

$\Rightarrow x_{n+1} -x_n =-2 .\frac{1}{n(n+1)}$
$\Rightarrow x_{n+1} -x_1 =-2( -\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n} -\frac{1}{n} +\frac{1}{n-1} - ,... +1) =-2(1-\frac{1}{n+1}) =-2\frac{n}{n+1}$

$\Rightarrow a_{n+1} =a(n+1) -2n$

Nếu $a >2$ thì lim $a_n = +\infty$

nếu $a<2$ thì lim$ a_n$ = - \infty$

$\Rightarrow  a= 2$ và lim $a_n =2$


Trong chủ đề: Topic ôn luyện VMO 2015

03-11-2014 - 22:41

Bài 3 :

 Gọi O là tâm (ABC) , O2 là tâm (A2B2C2) và H là trực tâm A1B1C1

Ta có $A1C1^2 -A1B1^2 =(BC1^2 +BA1^2 -2BC1BA1cos(90^0+B)) -(CB1^2 +CA1^2 -2CB1CA1cos(90^o +C)) =AC1^2 -AB1^2 -2CA1(BC1 sin B -CB1 Sin C) = AC1^2 -AB1^2  \Rightarrow AA1 \perp B1C1$

Tương tự => giao AA1 BB1 CC1 là H

Dễ có BB2C2C thuộc đường tròn tâm A1 , BB2A2A ,CC2A2A là tứ giác nội tiếp và H là tâm đẳng phương của 3 đương tròn

Xét phép nghịch đảo tâm H tỷ số là phương tích của H đến 3 đường tròn biến (A2B2C2) > (ABC) và (ABC) > (A2B2C2)

$\Rightarrow$  O1 O2 H thẳng hàng

Bài 4

Dễ có a,b sau phép biến đổi thì $(1-2014a)(1-2014b) =1-2014(a+b-2014ab)$

Nên sau hữu hạn lần thực hiện thì số đó là

(1-1)(1-2)...(1-2014) =0 $\Rightarrow$ số đó là $\frac{1}{2014}$