nhuquynhdinh

Bài 1: Cho $x= \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}} - \frac{1}{8}\sqrt{2}$
Tính:
$M= x^{2} + \sqrt{x^{4} + x +1}$
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a) $N= \frac{2}{\sqrt[3]{7}}-\sqrt[3]{7}- \frac{\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}}{\sqrt[3]{7}-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{7}}}} + \frac{6}{\sqrt{7}(\sqrt[3]{7}+ \sqrt{\frac{1}{\sqrt{7}}})} + \frac{7}{\sqrt[3]{343}}$
b) $P=\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$ với $a>0$ và $4a^{2} + a\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$

Tìm min của:
$B=\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}$ với $b+c\geq a+d$, b,c>0, $a,d\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a + b \geq c + d$
Từ giả thiết $\Rightarrow b+c\geq \frac{a+b+c+d}{2}$
Ta có $B = \frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}=\frac{b+c}{c+d}- (\frac{c}{c+d}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a+b+c+d}{2(c+d)}- (\frac{c+d}{c+d}-\frac{c+d}{a+b})$
Đặt $a+b=x, c+d=y$ $(x\geq y> 0)$ ta có :
$B\geq \frac{x+y}{2y}-\frac{y}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{2y} +\frac{1}{2} -1 +\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{2y}.\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}= \sqrt{2} - \frac{1}{2}$
Vậy min $B=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow d=0, a+b=\sqrt{2}(c+d), b+c=a+d$

Cho n là số nguyên dương lẻ, u là 1 ước nguyên dương lẻ của $3^{n}+1$. Tìm số dư của u khi chia cho 3.

Vì n lẻ nên ta có :
$3^{n} + 1$ = $(3 + 1).(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1)$ = $4.(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1)$ = 2.k.u ( Vì u là ước lẻ ) (k > 0)
Nếu u = 1 thì u chia 3 dư 1
Nếu u $\neq$ 1 thì 4 không chia hết cho u
$\Rightarrow$ $3^{n} + 1 = 4. (3^{n-1} + 3^{n-2} + ... +3 + 1) = 4. u$
$\Rightarrow$ $3^{n-1} + 3^{n-2} + ...+ 1 = u$
Mà $3^{n-1} + 3^{n-2} + ...+ 1$ chia 3 dư 1
$\Rightarrow$ u chia 3 dư 1
Vậy số dư của u khi chia cho 3 là 1

Ta có : $x^{15} + y^{15} + z^{15} = (x^{5})^{3} + (y^{5})^{3} + (z^{5})^{3}$
Mà lập phương của 1 số nguyên chỉ có thể dư 0; 1; 8. Do đó vế trái của phương trình chia cho 9 chỉ có thể dử 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8. (1)
Xét vế phải của phương trình ta có:
$19^{2003} + 7^{2003} + 9^{2003} = 19^{2003} - 1 + 7^{2003} + 1 + 9^{2003}
= 9.2.M_{a} + 9^{2003} + 7^{2003} + 1$
Mà $7^{3} \equiv 1 (mod 9)
\Rightarrow (7^{3})^{667} \equiv 1 ( mod 9)$
Lại có : $7^{2}\equiv 4 (mod 9) \Rightarrow 7^{2001}. 7^{2} \equiv 1.4 ( mod 9)$
Hay $7^{2003}$ chia 9 dư 4
$\Rightarrow$ $7^{2003} +1$ chia 9 dư 5 ( 2 )
từ (1) và (2) $\Rightarrow$ phương trình không có nghiệm nguyên

Cho $\bigtriangleup ABC$ đều, cạnh a, hãy xác định cát tuyến cắt AB ở M; AC ở N và BC kéo dài tại K thỏa mãn diện tích $\bigtriangleup AMN$ bằng diện tích tứ giác BMNC bằng diện tích $\bigtriangleup NCK$