baba33

chứ đạo hàm rồi mới nguyên hàm thì không ổn
$f(x)\not\equiv \int f\;'(x)\;\mathrm dx \not\equiv \int \mathrm d(f(x))$

xin sửa lại 1 chút f(x) + C = $\int f\;'(x)\;\mathrm dx =\int \mathrm d(f(x))$

thì vẫn ổn

Mình xin phép thêm 1 bài viết cuối ( chắc sẽ hết ý để mà quanh quẩn với chủ đề này,hi ) :

Nếu bây giờ SGK "không đưa" khái niệm lim vào phân đạo hàm mà chỉ nêu : f'(x) = dy/dx = d(fx) / dx
( Không đưa - hay có thể diễn giải là nói trứơc, dẫn dắt trước khi vào phần đạo hàm )

Bây giờ chỉ còn 2 công thức cho cả phần đạo hàm, vi phân, tích phân :

1> y' = dy / dx.

2> y + c = ∫ d(y) = ∫ y'dx ( dễ nhớ )
y = (∫ ydx)'

Tích phân xác định có thể đuợc hiểu như tổng rất nhiều hình chữ nhật có diện tích : f(x) * dx.
Kí hiệu $\int$ f(x) dx tượng trưng cho việc lấy tổng các hình chữ nhật, với dx là vô cùng bé ( dx -> 0 )

Theo SGK thì sẽ có Tích phân xác định [a;b] = F(b) - F(a). Trong đó F(x) là nguyên hàm.

Quay lại định nghĩa về vi phân : d(fx) = f'(x)*dx
suy ra $\int$ f(x) dx = $\int$ d(Fx) ( Trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x) )

mà $\int$ d(Fx) = F(x) nên có thể hiểu vi phân và tích phân là 2 khái niệm "ngược nhau" ? (1)
---------
Xin quay lại 1 chút :
$\int$ f(x) dx = F(x) nên suy ra : f(x) = ($\int$ f(x)dx)'

Như vậy có thể hiểu nguyên hàm và đạo hàm là ngược nhau ? (2)

Từ (1) và (2) suy ra :
f(x) = ($\int$ f(x)dx)' = $\int$ d(fx) = $\int$ f'(x)dx
--------------------
http://en.wikipedia....rem_of_calculus

The founders of the calculus thought of the integral as an infinite sum of rectangles of infinitesimal width. A rigorous mathematical definition of the integral was given by Bernhard Riemann. It is based on a limiting procedure which approximates the area of a curvilinear region by breaking the region into thin vertical slabs

Những người sáng lập của giải tích nghĩ tích như là một tổng vô hạn của hình chữ nhật có chiều rộng vô cùng. Một định nghĩa toán học nghiêm ngặt của thể tách rời được đưa ra bởi Bernhard Riemann.Nó dựa trên một thủ tục giới hạn xấp xỉ diện tích của một khu vực đường cong bằng cách phá vỡ các khu vực thành những tấm mỏng theo chiều dọc.

The integral sign ∫ represents integration. The dx indicates that we are integrating over x; dx is called the variable of integration. In correct mathematical typography, the dx is separated from the integrand by a space (as shown). Some authors use an upright d (that is, dx instead of dx). Inside the ∫...dx is the expression to be integrated, called the integrand. In this case the integrand is the function f(x). Because there is no domain specified, the integral is called an indefinite integral.

dx chỉ rằng chúng ta đang lấy tích phân theo x. dx được gọi là biến tính phân. Trong ký hiệu chính xác của toán học, dx được tách ra khỏi hàm lấy tích phân bởi khoảng trống (như chỉ ra trên hình). 1 vài tác giải sử dụng dấu thẳng đứng d (tức là dx thay vì dx). Bên trong dấu ... dx là biểu thức bị tích phân, gọi là hàm lấy tích phân. Trong trường hợp này, hàm lấy tích phân là f(x). Bởi vì không có miền xác định, nên tích phân được gọi là tích phân ko giới hạn

*************************
Như vậy giữa f(x)dx có phải là f(x) * dx không. Nếu không phải thì tại sao : f'x = dy/dx. Dấu / có phải dấu chia không ?

compute the rate of change as the limiting value of the ratio of the differences Δy / Δx as Δx becomes infinitely small.

In Leibniz's notation, such an infinitesimal change in x is denoted by dx, and the derivative of y with respect to x is written

dy / dx

suggesting the ratio of two infinitesimal quantities. (The above expression is read as "the derivative of y with respect to x", "d y by d x", or "d y over d x". The oral form "d y d x" is often used conversationally, although it may lead to confusion.)

Đạo hàm f'(x) = dy / dx ( Thuơng của 2 vô cùng bé khi Delta x --> 0 )
Như vậy, có thể thay thế khái niệm f'(x) = lim, bằng định nghĩa trên được không
( Vẫn rất trực quan nếu lấy ví dụ về cát tuyến và tiếp tuyến của đường cong tại 1 điểm )

Hoặc là đưa ra cả 2 công thức này cùng lúc và coi chúng là tuơng đuơng nhau.
Như vậy khái niệm đạo hàm và vi phân có liên quan rất chặt chẽ với nhau.
Vừa là công thức tính đạo hàm, vừa là công thức tính vi phân
( Giống như công thức tính chu kì và tần số trong Vật lý )
-------------------------------------------

This expression is Newton's difference quotient. The derivative is the value of the difference quotient as the secant lines approach the tangent line. Formally, the derivative of the function f at a is the limit
of the difference quotient as h approaches zero, if this limit exists. If the limit exists, then f is differentiable at a. Here f′ (a) is one of several common notations for the derivative (see below).
Equivalently, the derivative satisfies the property that
which has the intuitive interpretation (see Figure 1) that the tangent line to f at a gives the best linear approximation
to f near a (i.e., for small h). This interpretation is the easiest to generalize to other settings (see below).
Substituting 0 for h in the difference quotient causes division by zero, so the slope of the tangent line cannot be found directly using this method. Instead, define Q(h) to be the difference quotient as a function of h:
Q(h) is the slope of the secant line between (a, f(a)) and (a + h, f(a + h)). If f is a continuous function, meaning that its graph is an unbroken curve with no gaps, then Q is a continuous function away from h = 0. If the limit exists, meaning that there is a way of choosing a value for Q(0) that makes the graph of Q a continuous function, then the function f is differentiable at a, and its derivative at a equals Q(0).
In practice, the existence of a continuous extension of the difference quotient Q(h) to h = 0 is shown by modifying the numerator to cancel h in the denominator. This process can be long and tedious for complicated functions, and many shortcuts are commonly used to simplify the process.

http://en.wikipedia....wiki/Derivative