gogo123

Chứng minh của Sally trên sai ở ngay bước chứng minh hệ số $a_n$ dẫn đến kết luân nghiêm sai.

Dạng này có thể sử dụng số phức.

Dễ thấy nếu đa thức $x_0 \in R$ thì $P(x)$ cũng có nghiệm $x_0^2$ và $(x_0-2)^2$. Do vây nếu $\left | x_0 \right |\neq 1$ thì đa thức $P(x)$ có vô hạn nghiệm.

(Do nếu ngược lai thì $P(x)$ có các nghiệm $1<x_0<x_0^2<x_0^4<...$ hoặc $1>x_0>x_0^2>x_0^4>...>0$ đôi một phân biệt ,vô lí)

Suy ra $\left | x_0 \right |=1$ và $x_0=1$ (nếu $x_0=-1$ thì $P(x)$ có nghiệm $(x_0-2)^2=9>1$ vô lí) hay $P(x)=(x-1)^k.Q(x)$ với $Q(x)$ là đa thức hệ số thực không có nghiệm thực.

Dễ thấy thay vào phương trình $P(x)$ suy ra $Q(x)Q(x+2)=Q(x^2)$.  (1)

Giả sử $Q(x)$ có các nghiệm phức $\alpha _k=a_k+i.b_k$.Dễ thấy $\left |\alpha _k  \right |=1$ vì nếu ngược lại thì $Q(x)$ cũng có vô hạn nghiệm phức, vô lí.

Do đó $a_k^2+b_k^2=1$ (suy ra $a_k,b_k <1$, mặt khác theo (1) ta có Q(x) cũng có nghiệm $(\alpha _k -2)^2$.

Mà $\left |(\alpha _k -2)^2  \right |=(a_k-2)^2+b_k^2>1$ do $a_k<1 \Rightarrow  (a_k-2)^2>1$, vô lí vì mọi nghiệm của $Q(x)$ đều có modun là 1.

Suy ra $Q(x)=c$ hay $P(x)=c.(x-1)^k$, thay vào phương trình dễ thấy $c=0$ hoặc $c=1$.

Kết luận $P(x)=0$ hoặc $P(x)=(x-1)^k$ (k là số tự nhiên bất kì)

Em nhận được rồi thầy ạ

Bài 4 có cách phương tích 

Gọi $L,L'$ là giao điểm của $AW$ với các đường trong (1) và (2) .

Phương tích suy ra $AL.AW=AN.AB$,$AL'.AW=AM.AC$ mà $AN.AB=AM.AC$ nên $L=L'$ hay A,L,W thẳng hàng .

Do $XY$ sông song với $O_1O_2$ (đường trung bình) nên $XY$ vuông góc với $AW$.

Gọi $H'$ là giao điểm cuả đường cao $AP$ với $XY$ suy ra 2 tam giác $AH'L$ và $AWP$ đông dạng.

Suy ra: $AH'.AP=AL.AW=AN.AB$ mà $AN.AB=AH.AP$ hay $H'=H$. Suy ra $X,Y,H$ thẳng hàng.

Địa chỉ nhận GCN của em là : Lê Kim Bình, xóm 2 Bắc Lâm, Diễn Lâm, Diễn Châu, Nghệ An.

Lê Kim Nhã, lớp A1K40,THPT chuyên Phan Bội Châu,Nghệ An (giấy BTC gửi về trường cho em luôn ạ)

STK:51110000120258

CTK:Trường Thị Hà Trang

Ngân hàng BIDV TP Vinh,Nghệ An