Cách khác cho $1$ bài toán đẹp
Do $x+y+z=0$ nên sẽ có $2$ số cùng dấu
Giả sử $xy\geq 0$;$z= -(x+y)$
Ta có
$P=3^{|x-y|}+3^{|2y+x|}+3^{|2x+y|}-\sqrt{12[(x+y)^2-xy]}\geq 3^{x-y}+2.3^{\frac{|2x+y|+|2y+x|}{2}}-\sqrt{12[(x+y)^2-xy]}$
$\rightarrow P\geq 3^{|x-y|}+2.3^{\frac{3|x+y|}{2}}-2\sqrt{3}|x+y|$
Đặt $t=|x+y|\geq 0$
Xét hàm số $f(t)=2(\sqrt{3})^{3t}-2\sqrt{3}t$
$f(t)'> 0$
$\rightarrow f(t)\geq f(0)=2$
Mà $3^{|x-y|}\geq 1$
$\Rightarrow P\geq 3$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=0$
Bài toán được giải quyết
Q.E.D