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Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.
Điều kiện: $\begin{bmatrix} x\geq \sqrt{5}\\ x\leq -\sqrt{5} \end{bmatrix}$
Ta có: $(x+2)\sqrt{x^{2}-5}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10\Leftrightarrow (x+2)\left ( \sqrt{x^{2}-5}-2 \right )+(2x+1)\left ( \sqrt{x^{2}+7}-4 \right )=2x^{2}-18\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{(x+2)(x+3)}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{(2x+1)(x+3)}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2(x+3) \right )=0\Leftrightarrow (x-3)(x+3)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2 \right )=0$
$\bullet$ Nếu $x\leq -\sqrt{5}\rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2< 0$
$\bullet$ Nếu $x\geq \sqrt{5}$
$\ast$ Xét $g(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}$
$\rightarrow g'(x)=\frac{8\sqrt{x^{2}+7}-x+14}{(\sqrt{x^{2}+7}+4)^{2}.\sqrt{x^{2}+7}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}\rightarrow g(x)\geq g(\sqrt{5})=\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{12}+4}$
$\ast$ Xét $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}\rightarrow f'(x)=\frac{2\sqrt{x^{2}-5}-2x+5}{\sqrt{x^{2}-5}\left ( \sqrt{x^{2}-5}+2 \right )^{2}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}$
$\rightarrow f(x)\geq f(\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}+2}{2}\Rightarrow f(x)+g(x)-2> 0$
Vậy $x=3\vee x=-3$
