Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Online Đăng nhập: Hôm nay, 13:33
***--

#669336 Nhóm Abel tự do

Gửi bởi bangbang1412 trong Hôm qua, 14:29

Lấp đi cm bổ đề là không tốt nha anh 

Trước tiên ta thấy do $A$ là free abelian nên 

$$A \cong Z^{n}$$

Xét phép chiếu lên tọa độ thứ $i$ 

$$\pi_{i} : Z^{n} \to Z$$u

Với $m \leq n$ gọi $B_{m}$ là nhóm chứa tất cả $x \in B$ sao cho $\pi_{i}(x) =0 \forall i > m$  , thế thì $B_{m}$ là một subgroup của $B$ khi đõ dễ thấy $B_{n}=B$ . Bây giờ nếu $\pi_{m}(B_{m})$ nó nontrivial thì chọn một phần tử $x_{m}$ sao cho $\pi_{m}(x_{m})$ sinh ra $\pi_{m}(B_{m})$ , nếu không $x_{m}=0$ . Khi đó hệ $x_{1},...x_{m}$ sau khi loại đi các số $0$ sẽ thu  được một cơ sở của $B$ . Nên $rank B \leq rank A$

Bình luận thêm :  cái đoạn cuối giống kg vector  :luoi:  :luoi:




#669257 Nhóm Abel tự do

Gửi bởi bangbang1412 trong 21-01-2017 - 22:51

Cho $A$ là một nhóm abel tự do , $B$ là nhóm con abel tự do của $A$ . Chứng minh $rank B \leq rank A$ và chỉ ra một trường hợp đẳng thức xảy ra nhưng $B$ là tập con thực sự của $A$ . 




#668863 Tìm giá trị nhỏ nhất của n để $2^{n}$ và $5^{n...

Gửi bởi bangbang1412 trong 19-01-2017 - 16:47

$[ n log 2 ]$ là gì vậy. em mới học lớp 9 chứ mấy  :wacko:
Nếu: có vô số $n$ thỏa mãn $2^{n},5^{n}$ cùng chữ số đầu tiên , và chữ số đó phải là $3$  thì bác có thể liệt kê vài số được không?

ví dụ ngoài $5$ còn có $15$ . Để chứng minh thì cần sử dụng tính trù mật .
  • 013 yêu thích


#668414 Tìm giá trị nhỏ nhất của n để $2^{n}$ và $5^{n...

Gửi bởi bangbang1412 trong 15-01-2017 - 14:41

Bài này khá hay , bây giờ ta biết rằng đã tồn tại $n=5$ thỏa mãn ta thấy số chữ số của $2^{n}$ là $x$ thì $x = [ n log 2 ]+1 $ , tương tự số chữ số của $5^{n}$ là $[ nlog5] +1$. Bây giờ giả sử $2^{n},5^{n}$ có cùng chữ số đầu tiên thì tồn tại $t,m$ thỏa mãn 

$$k.10^{t} < 2^{n} < (k+1) 10^{t}$$

$$k.10^{m} < 5^{n} < (k+1) 10^{m}$$

Khi đó ta có :

$$k^{2} < 10^{n-t-m} < (k+1)^{2}$$

Ta thấy các số chính phương sinh bởi $1-9$ là $1-4-9-16-25-...81$ do đó tồn tại duy nhất lũy thừa của $10$ bị kẹp giữa là $10$

$$n - t - m = 1,k=3$$ ( đây là lý do sao bạn chỉ ra ví dụ chữ số đầu là $3$ ) 

Và có thể kiếm tra một mối liên hệ giữa $t,m,[nlog2]+1,[nlog5]+1$ ( cái này mình không làm , cũng không có giấy bút ) 

Mình đã ktra lại bài này không thể duy nhất được , có vô số $n$ thỏa mãn $2^{n},5^{n}$ cùng chữ số đầu tiên , và chữ số đó phải là $3$


  • 013 yêu thích


#668251 Giải Wolf $2017$

Gửi bởi bangbang1412 trong 13-01-2017 - 23:51

File gửi kèm  wolf-2017-fefferman.jpg   23.65K   0 Số lần tảiFile gửi kèm  wolf-2017-schoen.jpg   11.01K   0 Số lần tải

Charles Fefferman ( trái ) , đại học Princeton và  Richard Schoen ( phải ) , đại học Califonia , Irivine đã giành được giải thưởng Wolf năm $2017$ trong toán học cho " những đóng góp đột phá trong giải tích và hình học " . Giải thưởng $100000$ đô được chia cho hai người . 

Trích dẫn cho Charles Fefferman là ông ấy có những đóng góp lớn với nhiều lĩnh vực , như giải tích phức nhiều biến , phương trình đạo hàm riêng và vấn đề subelliptic . Ông giới thiệu các kĩ thuật cơ bản trong giải tích điều hóa và khám phá ứng dụng cho một loạt các lĩnh vực như động lực học vật chất , hình học phổ và vật lý toán . Ngoài ra ông ấy còn giải quyết các vấn đề lớn liên quan đến các cấu trúc phức tạp , tinh tế cho các phương trình đạo hàm riêng . Fefferman nhận giải Fields năm $1978$ , giải thưởng Bergman năm $1982$ và giải thưởng tưởng niệm Bocher năm $2008$ . 

Richard Schoen được công nhận là " người tiên phong " và tạo động lực trong hình học giải tích. Đoạn trích dẫn tiếp : " Các công trình của ông về hàm điều hòa và mặt cực tiểu đã có ảnh hưởng lâu dài . Lời giải của ông ấy cho vấn đề Yamabe là cơ sở để phát hiện một mối liên hệ sâu sắc với thuyết tương đối tổng quát . Thông qua công việc của mình trong hình học giải tích , Schoen đã có đóng góp rất lớn cho sự hiểu biết của chúng ta về mối tương quan giữa phương trình đạo hàm riêng và hình học vi phân . Schoen nhận giải tưởng niệm Bocher năm $1989$ , là thành viên viện hàn lâm khoa học , cũng như một thành viên của AMS , American Academy of Arts , Sciences , và hiệp hội Mỹ vì sự tiến bộ của khoa học . Ông hiện là một phó chủ tịch của AMS . 

Giải thưởng Wolf , được đưa ra lần đầu tiên năm $1978$ , được trao bởi quỹ Wolf . Người trúng giải sẽ nhận giải từ tổng thống Israel trong một buổi lễ đặc biệt tại tòa nhà Quốc hội Israel ở Jerusalem . Đây là danh sách những người đoạt giải năm nay . 

Nguồn : ams.org




#667904 Vài điều lý thú về định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

Gửi bởi bangbang1412 trong 10-01-2017 - 18:38

Mình có đọc trong quyển "một số vấn đề toán học chưa giải quyết được của Phạm Bình Đô, Đặng Hùng Thắng ..." về vấn đề này, mình thấy nó hay mà ứng dụng cũng nhiều, nó sát với thực tế, thầy chủ nhiệm của mình (hồi dại học ổng viết chuyên đề về topo) cũng thích nó, hồi thcs tưởng nó chỉ có trong toán cao cấp, thế mà lên thpt mới biết nó cũng có thể giải phương trình hàm ( dùng điểm bất đông) , và lâu rồi mình không quan tâm đến nó, nhưng hôm nay thấy bài viết này đăng thì niềm đam mê cũ bộc phát nên đăng vài dòng cho vui

Um mình lần đầu biết về cái này cũng trong quyển " Một số vấn đề toán học chưa giải quyết được " . Còn theo mình thấy thì không có chứng minh THPT , có chăng cho trường hợp $S^{1} , B^{2}$ thì hình như nếu $f(x) \neq x \forall x$ nó xét cái hàm là tia nối $x,f(x)$ cắt theo một chiếu đến $S^{1}$ nhưng đoạn sau vẫn dùng công cụ mạnh . 

Ở blog mình có ghi một chứng minh của Munkres về nó , ý tưởng là dùng ánh xạ $def$ chứng minh không có retraction từ $B^{n+1}$ lên $S^{n}$ và nonvanishing vector field .

http://phamkhoabang....xed-point.html 

Tuy nhiên sai ở định lý $1c$ do mình chưa học nhóm đồng luân cấp cao , mà lại nhầm nó với nhóm cấp $1$ . Tuy nhiên không có gì ảnh hưởng lắm và nó dùng phép " phản chứng " 




#667892 Vài điều lý thú về định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

Gửi bởi bangbang1412 trong 10-01-2017 - 17:00

Định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

 

 

Trong cái hỗn độn luôn có một trật tự nào đó , quả thật như vậy . Hai định lý toán học định lý điểm bất động Brouwer và định lý Borsuk-Ulam sẽ cho ta thấy một phần trật tự trong cái hỗn độn đó , và nó cũng là hai định lý rất nổi tiếng của toán học . 

Định lý điểm bất động Brouwer 

Trước tiên ta bắt đầu với một ví dụ : 

 

 

34-dinhlidiembatdong.jpg

 

400px-Mainpic134.jpg

 

Chúng ta lấy hai đĩa tròn một cái màu xanh một cái đỏ để đè lên nhau ,cái đỏ ở trên , dĩ nhiên đè khít lên sau đó chúng ta có thể bóp méo cái đĩa đỏ . Hoặc là chúng ta lấy hai tờ giấy đè sát lên nhau , nếu ta vo cục giấy kia thành hình " khá tròn " rồi để lên tờ còn lại , ép phẳng nó ra . Cũng tương tự như khi bạn làm với sợi dây hoặc xoay tròn nước trong một tách cafe .bạn lấy Định lý Brouwer nói với ta rằng luôn có một điểm tiếp xúc không thay đổi . Vậy một cách toán học thì thực ra các " bóp méo " của ta là thực hiện một ánh xạ liên tục lên chính dụng cụ ta đang dùng .

Ta cùng tham khảo thêm một số thông tin : 

Định lý điểm bất động Brouwer phát biểu năm $1912$ bởi nhà luận lý học người Hà Lan Luizen Egtebus Jan Brouwer . Đây là một trong các định lý toán học quan trọng của thế kỉ $20$ , ngày nay vẫn được mở rộng . Chứng minh của nó sử dụng phương pháp bậc của ánh xạ liên tục trong topo . Ngày nay đã có ít nhất $5$ chứng minh khác nhau . Sau đây là phát biểu nguyên thủy ( ta không tìm hiểu thêm mở rộng ) : 

" Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng trong $R^{n}$ vào chính nó phải có điểm bất động " .

Một thông tin khá thú vị mà mình tìm trên diendantoanhoc.net từ thành viên TieuSonTrangSi , xin phép trích lại đoạn đó : 

" Một trong những nhà luận lý , toán học người Hà Lan Jan Brouwer ( $1881 - 1966$) là người dẫn đầu trường phái trực giác . Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức của Hilbert và chủ nghĩa logic của Russell . Đặc biệt Brouwer bài bác tất cả các chứng minh sử dụng phép phản chứng . Theo ông mọi chứng minh phải có tính xây dựng . Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm Brouwer mất ăn mất ngủ và mất giá trị trong lính vực của mình ( topo ) . Ông không bao giờ dạy topo , chỉ dạy triết lý toán học theo phái trực giác . Có điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra chứng minh định lý điểm bất động rất quan trọng nhưng ở thế kỉ $21$ khi người ta nhắc đến chứng minh định lý điểm bất động Brouwer thì chứng minh ngắn nhất sử dụng phép phản chứng và người ta không thể đưa ra một phép xây dựng cho nó" .

Nhưng mặc cho như vậy , định lý này vẫn là một trong các định lý quan trọng của toán học .

Định lý Borsuk - Ulam

Trong khí tượng học có một định lý khá hay là : 

" Tại mọi thời điểm trên mặt cầu trái đất luôn tồn tại hai điểm mà ở đó có cùng nhiệt độ và áp xuất khí quyển . " 

Nhưng hay thay nó không liên quan lắm đến khí tượng hay gì cả , mà lại nằm trong phần bài tập sách topology của Munkres ( cười ) . Lịch sử về nó thì không nhiều lắm nên mình chỉ nêu phát biểu nguyên thủy của nó : 

" Mọi ánh xạ liên tục $f$ từ hình cầu $S^{n}$ vào $R^{n}$ luôn có hai điểm trái tọa độ nhưng lại cùng giá trị " , nôm na là tồn tại  $x \in S^{n}, f(x) = f(-x)$ . Bạn có thể hiểu $x$ và $-x$ là hai điểm đối xứng nhau qua tâm trái đất , còn $f(x),f(-x)$ là nhiệt độ hoặc áp xuất tại đó . 

Vậy trong khí tượng hàm nhiệt độ và áp xuất ra sao như nào mình không biết như trong toán nó là có lý . Dĩ nhiên ta nên bảo với mấy ông bên khí tượng là tại sao hai hàm của các ông lại liên tục vậy . Sau đây là một video liên quan đến nó và kết thúc bài viết của mình .

Nguồn : 
Youtube.com 
Wikipedia 
Math fun fact 
diendantoanhoc.net



#667582 Làm thế nào học giỏi Toán toàn diện giúp bạn đạt kết quả cao

Gửi bởi bangbang1412 trong 08-01-2017 - 09:21

Không biết chủ Topic có bài viết nào nói cụ thể về Hình học không ạ ?

Chứ mình đang trong tình trạng tiến thoái lưỡng nan, số tạm được mà hình chả ra đâu vào đâu, cho 1 bài hình đơn giản mà ngồi mấy tiếng đồng hồ không ra, thực sự rất là nản :(

Tôi không hiểu bạn học toán vì mục đích gì nhưng như thế là chuyện bt . Nhưng đừng tin quá vào đa cấp , khi mà thực trạng giáo dục quá chán như ngày nay .




#667515 Chứng minh hình cầu có diện tích xung quanh nhỏ nhất

Gửi bởi bangbang1412 trong 07-01-2017 - 21:15

Trong tất cả các vật thể có cùng thể tích . Chứng minh hình cầu có diện tích xung quang bé nhất . 




#667430 Đề cử Thành viên nổi bật 2016

Gửi bởi bangbang1412 trong 07-01-2017 - 10:51

$1)$ Tên nick ứng viên :Royal1534 .
$2)$ Thành tích nổi bật : sôi nổi , tích cực .
$3)$ Ghi chú : không




#667263 TÔPÔ XÁC ÐỊNH BỞI HỌ ÁNH XẠ

Gửi bởi bangbang1412 trong 06-01-2017 - 12:50

Ta gọi $V$ là tập mở trong $Y$ thế thì $h^{-1}(V) = f^{-1}(V) \cap A$ . Do $f$ liên tục nên $f^{-1}(V)$ mở , $A$ tự mở trong topo của nó nên $h^{-1}(V)$ mở nên có dpcm . 




#667185 Câu hỏi về ánh xạ $p_{*}$

Gửi bởi bangbang1412 trong 05-01-2017 - 21:50

Mình có hai câu hỏi mong các bạn giải đáp 

$1)$ Nếu $h$ là một ánh xạ liên tục sao cho 

$$h(x_{0}) = y_{0}$$

$$h : (X , x_{0}) \to (Y , y_{0})$$

Chúng ta định nghĩa đồng cấu giữa hai nhóm cơ bản :

$$h_{\ast} : \pi_{1}(X , x_{0}) \to \pi_{1}(Y,y_{0})$$ 

$$h_{\ast}([k]) = [ h \cdot k] $$

Mình có thấy sách mình ghi : 

Cho ánh xạ phủ ( covering map ) $p : E \to B , p(e_{0}) = b_{0}$ . Thế thì đồng cấu sau là một đơn cấu . 

$$p_{\ast} : \pi_{1}(E,e_{0}) \to \pi_{1}(B,b_{0})$$

Phần chứng minh ghi là : 

Giả sử $h$ là một bó của $E$ tại $e_{0}$ thế thì $p_{\ast}([h])$ là phần tử đơn vị ( identity element ) . Ai giải thích dùm đoạn này 

$2)$ Nếu $h$ là một ánh xạ liên tục $ h : S^{1} \to X$ thế thì khẳng định sau tương đương . 

$a)$ $h$ là nulhomotopic .

$b)$ $h$ có một thác triển $k : B^{2} \to X$ 

Phần chứng minh ghi : 

Gọi $H : S^{1} \times [0,1] \to X$ là đồng luân giữa $h$ và constant loop khi đó ánh xạ sau :

$$\pi : S^{1} \times [0,1] \to B^{2}$$

$$\pi(x,t) = (1-t)x$$

Thế thì $\pi$ liên tục , đóng, toàn ánh , do đó là ánh xạ thương , it's collapses $S^{1} \times 1$ to the point $0$ and is otherwise injective . Because $H$ is constant  on $S^{1} \times 1$ , it induces "" via "" the quotient map $\pi$ , a continuous map $k : B^{2} \to X$ is an extension of $h$ 

Giải thích dùm mình đoạn này . 




#666761 Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a | (b-c)^2; b...

Gửi bởi bangbang1412 trong 03-01-2017 - 11:51

Xét số sau : 

$$S = 2\sum ab  - \sum a^{2}$$

Giả sử tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn đề bài và là ba cạnh tam giác . Thì do là cạnh tạm giác ta có bdt quen thuộc

$$\sum a^{2} < \sum 2ab$$

Do đó $S$ không âm , chia hết cho cả $3$ số $a,b,c$ . Nhưng từ điều kiện ta thấy $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi do đó $abc|S$ và suy ra $S \geq abc$ . Gọi $c = min(a,b,c) => S < 3ab$ ( vì không có hai cạnh bằng nhau ) . Vì vậy nên $c < 3$ hay $c = 1,2$ . 

Nếu $c=1$ ta giả sử $a>b$ thế thì $b<a<b+c=b+1$ ( vô lý ) 

Nếu $c=2$ ta có thể giả sử $a=b+1$ nhưng khi đó $c=2 | (a-b)^{2}=1$ ( vô lý ) 

Vậy giả sử sai , ta có đpcm . 




#666473 $ 2= \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}} < 2$

Gửi bởi bangbang1412 trong 01-01-2017 - 16:22

Ở phần đầu viết $x<2$ và chứng minh như thế là đúng vì mỗi lần cho nhỏ hơn và lấy căn là một lần đếm thêm một . Nên viết $x<2$ ý nói là chỉ nhỏ hơn nếu có hữu hạn căn . Còn khi vô hạn ta luôn phải hiểu là giới hạn của dãy số . Tác giả rất sai lầm khi để các bài toán như này cho hs cấp $2$
  • 013 yêu thích


#666423 Tính giới hạn $\mathrm{\mathop {\lim }...

Gửi bởi bangbang1412 trong 01-01-2017 - 01:53

 Cho em hỏi tại sao $\lim (u_{n+1}^3-u_n^3)=\lim \frac{u_n^3}n$ ạ

Định lý Cesaro