Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Online Đăng nhập: Hôm nay, 13:33
***--

Chủ đề của tôi gửi

Chứng minh $cG_{1}c^{-1} \cap G_{2}=\left...

Hôm qua, 15:55

Em mới học cái này , nên đang rất cần thông não . 

Cho tích tự do $G = G_{1} * G_{2}$ . 

$a)$ Nếu $G_{1},G_{2}$ không tầm thường thì $G$ không abel . 

$b)$ Cho $c \in G$ . Chứng minh rằng : 

$$cG_{1}c^{-1} \cap G_{2}=\left \{  1 \right \}$$


Nhóm Abel tự do

21-01-2017 - 22:51

Cho $A$ là một nhóm abel tự do , $B$ là nhóm con abel tự do của $A$ . Chứng minh $rank B \leq rank A$ và chỉ ra một trường hợp đẳng thức xảy ra nhưng $B$ là tập con thực sự của $A$ . 


Giải Wolf $2017$

13-01-2017 - 23:51

File gửi kèm  wolf-2017-fefferman.jpg   23.65K   0 Số lần tảiFile gửi kèm  wolf-2017-schoen.jpg   11.01K   0 Số lần tải

Charles Fefferman ( trái ) , đại học Princeton và  Richard Schoen ( phải ) , đại học Califonia , Irivine đã giành được giải thưởng Wolf năm $2017$ trong toán học cho " những đóng góp đột phá trong giải tích và hình học " . Giải thưởng $100000$ đô được chia cho hai người . 

Trích dẫn cho Charles Fefferman là ông ấy có những đóng góp lớn với nhiều lĩnh vực , như giải tích phức nhiều biến , phương trình đạo hàm riêng và vấn đề subelliptic . Ông giới thiệu các kĩ thuật cơ bản trong giải tích điều hóa và khám phá ứng dụng cho một loạt các lĩnh vực như động lực học vật chất , hình học phổ và vật lý toán . Ngoài ra ông ấy còn giải quyết các vấn đề lớn liên quan đến các cấu trúc phức tạp , tinh tế cho các phương trình đạo hàm riêng . Fefferman nhận giải Fields năm $1978$ , giải thưởng Bergman năm $1982$ và giải thưởng tưởng niệm Bocher năm $2008$ . 

Richard Schoen được công nhận là " người tiên phong " và tạo động lực trong hình học giải tích. Đoạn trích dẫn tiếp : " Các công trình của ông về hàm điều hòa và mặt cực tiểu đã có ảnh hưởng lâu dài . Lời giải của ông ấy cho vấn đề Yamabe là cơ sở để phát hiện một mối liên hệ sâu sắc với thuyết tương đối tổng quát . Thông qua công việc của mình trong hình học giải tích , Schoen đã có đóng góp rất lớn cho sự hiểu biết của chúng ta về mối tương quan giữa phương trình đạo hàm riêng và hình học vi phân . Schoen nhận giải tưởng niệm Bocher năm $1989$ , là thành viên viện hàn lâm khoa học , cũng như một thành viên của AMS , American Academy of Arts , Sciences , và hiệp hội Mỹ vì sự tiến bộ của khoa học . Ông hiện là một phó chủ tịch của AMS . 

Giải thưởng Wolf , được đưa ra lần đầu tiên năm $1978$ , được trao bởi quỹ Wolf . Người trúng giải sẽ nhận giải từ tổng thống Israel trong một buổi lễ đặc biệt tại tòa nhà Quốc hội Israel ở Jerusalem . Đây là danh sách những người đoạt giải năm nay . 

Nguồn : ams.org


$\pi_{1}(R^{n} \setminus 0) = \pi_{1}...

13-01-2017 - 18:25

Chứng minh rằng : 

$a)$ $R^{n} \setminus 0$ không đồng phôi $S^{n}$

$b)$ $\pi_{1}(R^{n} \setminus 0) = \pi_{1}(S^{n})$

$c)$ $R^{n+1} \setminus 0$ đồng phôi $S^{n} \times R_{+}$


Giới thiệu về chai Klein

12-01-2017 - 21:49

Hehe hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn về chai Klein , khá thú vị trong topo . Nào , trước tiên bạn thích " uống " , khi đó chai Klein không phải là một cái cốc tốt . Nó nhìn rất giống chai nhưng nó lại có thể tích không , có thể hiểu là nó không chứa được chất lỏng . Khi bạn đổ chất lỏng vào thì nó lại tràn ngược ra đầu mà bạn vừa đổ vào . Khá là củ chuối , nếu bạn không tin có thể google search " Filling Klein Bottle và xem video nhé .

Vậy thì làm thế nào để xây dựng và tìm ra nó ( chai Klein ) ? Nhà toán học Felix Klein đã tìm ra nó năm $1882$ và miêu tả nó như là một mảnh của ống cao su rồi để một phần bên ngoài đi vào bên trong .

 

Rõ ràng , giống như các mặt cầu , chai Klein là đóng . Bạn có nghĩ rằng nó là một vùng hữu hạn của không gian , một con kiến có thể đi bộ xung quanh nó mà không bao giờ đập vào đâu hoặc rơi trên một cạnh . Không giống như các mặt cầu có mặt trong và mặt ngoài , chai Klein chỉ có một chiều : khi đi bộ thì con kiến có thể chạm cả hai phần tại cùng một điểm . Đó là lý do tại sao nó không có thể tích và nó cũng rất thú ví vì trong tự nhiên khá khó tìm được một vật một chiều như vậy .

Nếu bạn thấy bối rối , hãy cùng thử nghĩ đơn giản hơn về một mặt một chiều khá nổi tiếng : Dải Mobius . Bạn có thể tạo ra nó bằng cách xoắn cong và dán hai đầu của một dải giấy hình chữ nhật lại . Bạn có thể sử dụng một dải giấy mà nó có hai phần màu khác nhau : cam và xanh , dễ thấy rằng dải Mobius là một mặt . Thật vậy xuất phát từ điểm ở phần màu xanh bạn có thể đi đến tất cả các điểm thuộc phần màu cam mà không cần phải đi xuyên qua tờ giấy hay đi vòng qua mép của nó .

File gửi kèm  WithNormals.jpg   20.01K   0 Số lần tải

 

 Nhưng không giống như chai Klein , dải Mobius là có cạnh , được tạo từ dải gốc . Nếu bạn có hai dải Mobius thì bạn có thể tạo ra bình Klein bằng cách làm " đầy nó " ( mình dịch đoạn này không chuẩn  nhưng xem video sau đây các bạn sẽ hiểu )

Chính sự phát hiện này đã khiến nhà toán học Leo Moser soạn một bài thơ năm câu , nhưng mình để tiếng Anh nhé hehe :

A mathematician named Klein 

Thought the Mobius band was divine 

Said he : " If you glue 

The edges of two ,

You'll get a weird bottle like mine . " 

Một số nhà toán học thực sự là đại tài !! 

Một đặc điểm kì lạ của chai Klein là nó tự cắt chính nó , như vậy nó rất khó để tạo thành từ duy nhất một ống cao su như Klein đề xuất. Nói đúng ra , các đối tượng được miêu tả ở trên không phải là chai Klein ( nhưng theo Klein chỉ định thì ta chỉ nên xem xét một đối tượng ) . Để hiểu tại sao , ta cùng nghĩ đến những chiếc bánh rán quen thuộc ( trong toán học gọi là hình xuyến ) . Bạn có thể tạo ra hình xuyến bằng cách cuộn tròn theo chiều ngang của một hình vuông để tạo ra hình trụ rỗng , rồi sau đó dán hai đầu của hình trụ lại . 

File gửi kèm  torus_square2.jpg   35.6K   0 Số lần tải

 
Còn nếu bạn không muốn mang đồ đạc ra dán lại , thì bạn hãy tưởng tượng về hình vuông . Nếu bạn trượt một hình vẽ theo chiều hướng lên và đi qua cạnh trên thì nó sẽ xuất hiện trở lại ở cạnh dưới
File gửi kèm  torus_slide.jpg   29.33K   0 Số lần tải
 
Để có một chai Klein , chúng ta làm tương đối giống như vậy . Bạn hãy tưởng tượng một hình vuông ,  xác định các điểm đối diện trên một cặp cạnh đối diện của một hình vuông . Đối với hai các cặp khác của hai bên không xác định được điểm đối diện trực tiếp , các điểm trong đường chéo đối diện , như trong hình sau ( bạn hãy cố tưởng tượng nhé )
 
File gửi kèm  bottle_glue.jpg   14.72K   0 Số lần tải
 
 
Nó sẽ tạo ra bình Klein , nhưng lần này nếu bạn trượt một hình ảnh thì nó sẽ xuất hiện ở bên đối diện và tạo ra một hình ảnh như là phản chiếu của hình ảnh ban đầu : 
 
File gửi kèm  bottle_slide.jpg   29.84K   0 Số lần tải
 

Về mặt toán học thì chai Klein có thể mô tả là không gian thương $[0,1] \times [0,1] /  ~$ trong đó $(0,y) \sim (1,y) , (x,0) \sim (1-x,1)$

Thật kì lạ , những khái niệm " bên trong " , " bên ngoài " , " one-sidedness " lại phụ thuộc vào không gian mà vật nằm trong . Ví dụ , một bó được vẽ trong không gian hai chiều thì có thể  xác định mặt trong và mặt ngoài , nhưng trong không gian ba chiều thì không . 

 
Đây là lý do vì sao ta không thể nói về một sidedness trừ khi chúng ta xác định làm thế nào để nhúng nó trong không gian ba chiều . Tuy nhiên nội tại của vật thể thì không liên quan tới số chiều không gian xung quanh nó . Một mặt được gọi là orientable nếu bạn không thể trượt một hình ảnh xung quang mặt đó mà cho kết quả là hình ảnh giống như hình ảnh ban đầu , có thể nó đã bị xoay ngược hoặc như nào đó . Vậy thì dải Mobius không phải là orientable  , và chai Klein cũng vậy . 

Nguồn : plus.maths.org