Mori Ran

Xét 2 Th

_ TH1 : $c^2 + d^2 \geq 1$

Khi đó ta có $\Delta ' = (ac +bd -1)^2 -(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)\geq 0$

=> phương trình luôn có nghiệm.

_ TH2: $c^2+d^2 < 1$

Ta cần chứng minh $(ac+bd-1)^2\geq (a^2+c^2-1)(b^2+d^2-1)$

mà : $(a^2+b^2+c^2+d^2-2)^2 \geq 4(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)$

$a^2 +b^2 + c^2 + d^2 -2<0$ (1)

$a^2 + b^2 + c^2 +d^2 -2 \geq 2ac+2bd-2$ (2)

từ (1) và (2 )

$\Rightarrow (2ac+2bd-2)^2 \geq (a^2+b^2+c^2+d^2-2)^2$

Không liên quan nhưng cho mình hỏi bạn có phải Vương ĐÌnh Ân không ? 

cho $a,b,c> 0$CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

nhìn lại đề hộ mình xem có sai k bạn ơi

$\left\{ \begin{array}{ll} xy-3zt=1 \\ xz+yt=2 \end{array} \right.$

Trong 1 giải bóng có 8 đội thi đấu vòng tròn, giải được chia làm 2 đợt. Tìm số trận đấu nhiều nhất ở đợt đầu sao cho với 3 đội bất kì luôn có ít nhất 2 đội chưa thi đấu với nhau trong các đợt đấu

bài thi toán QG ngày 2 :

Tìm max biểu thức với x,y,z là các số thực dương

$\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$

 

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

 

 

Cái này mình mới vừa nghĩ ra, mình dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Ta có $\frac{a}{4b^2+1}=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}$

Vì $4b^2+1\geq 4b\Rightarrow -\frac{4ab^2}{4b}\geq -ab$

CMTT ta suy ra $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq a+b-2ab$

Mà $a+b=4ab$

$\Rightarrow \frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq 2ab(1)$

_ Vì $a+b\geq2\sqrt{ab} \Rightarrow 4ab\geq 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2ab\geq \frac{1}{2}(2)$ 

_Từ (1) và (2) => ĐPCM

Bài 1: Cho $a,b,c >\frac{25}{4}$ Tìm GTNN của $Q= \frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}$

Bài 2: Cho a,b, c>0 và a+b+c =1 . Tìm GTNN  của $A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}+$

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=1006. 

   CMR $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Bài 5: Cho a,b,c >0 ; $a+b+c \leq 3$. Tìm Min  $A=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}$

Bài 6: x,y,z >0 ; xy+yz+xz =5 Tìm Min $P= \frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

Bài 7: Cho a,b >0 ; a+b=2 Tìm MIN $Q= 2{a^2+b^2}-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Bài 8 : Cho x,y, z>0 Tìm MIN $S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

Bài 9: Cho x,y >0 t/m $x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}$. Tìm MIN $M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Bài tập 

Cho $a,b,x,y \epsilon \mathbb{R};x^{2}+y^{2}=1; a+b=2.$

Tìm GTLN : $M= ax+by+ab$ 

$M= ax+by+ab \leq \left | ax+by \right |+ab\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}+ab$

$\Rightarrow M\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{(a^{2}+b^{2}).2}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{a^{2}+b^{2}+2}{2}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{a^{2}+b^2+2+2\sqrt{2}ab}{2\sqrt{2}}$

$\Rightarrow M\leq \frac{(a+b)^2+2+(2\sqrt{2}-2)ab}{2\sqrt{2}}$

CMTT dùng Cô-si sẽ ra $M\leq \sqrt{2}+1$

Dấu = xaye ra khi và chỉ khi a=b=1 ; $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Giúp mình nhé:

Bài 1: Cho x> xy+1 Tìm max : $P=\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}$

Bài 2: Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=4 .Tìm min $P=x^{2}+y^{2}+\frac{33}{xy}$

Bài 3: Co a,b khác 0 thỏa mãn $2a^{2}+\frac{b^{2}}{4}+\frac{1}{a^{2}}=4$. Tìm min $S= ab+2014$

Bài 4: Với x>0 tìm min $M=4x^{2}-3x+\frac{1}{4x}+2013$

Bài 5: Cho x;y;z>0 ; x+y+z=1 . CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

Bài 6: CM $\frac{1}{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^{3}}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{3}}+...+\frac{1}{(\sqrt{2009}+\sqrt{2011})^{3}}< \frac{1}{8}(1-\frac{1}{\sqrt{2011}})$

Bài 7: Cho $x^{2}+y^{2}=1$ Tìm min $M=\sqrt{3}xy +y^{2}$

Giải hộ mình bài này nhé :

CHO  $A=(a+b)(b+c)(c+a)$  ,$a,b,c \geq 0$$ ,abc=1$ 

CMR $A+1 \geq 3(a+b+c)$

_ Ta có : $A=(a+b)(b+c)(c+a)$ mà abc=1 

$\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{a+b}{a}.\frac{b+c}{b}.\frac{a+c}{c}=(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})$

$\Rightarrow A+1=3abc+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}$

Mà ta có :

$\left\{\begin{matrix} abc+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq 3a\\ abc+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq 3b\\ abc+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\geq 3c \end{matrix}\right.$

Cộng các vế vào ta đc $A+1\geq 3(a+b+c)(dpcm)$

Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT :

 

$$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$$

anh ơi cái này cứ như AM=GM ý nhỉ

Đề bài hình như sai thì phải. Mik ko thề tìm thấy dấu bằng  bạn ạ

Hình như phải là $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{3}{4}$

mình cũng ko rõ, tờ đề của thầy giáo là như thế, để đến thứ 6 tuần sau xem thế nào đã nhé

, Do $(a-1)+(b-1)+(c-1)=a+b+c-3=0$ nên $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=-3(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2)$

BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2) \leq 4$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 

$(a+b-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+b)^2}{4}$

 

Tương tự 

  

$(a+b-2)(c+a-2) \leq \frac{(1+a)^2}{4}$

 

$(c+a-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+c)^2}{4}$

 

BĐT cần chứng minh 

$\sqrt{\frac{(1+a)^2.(1+b)^2.(1+c)^2}{4}}\leq 4\Leftrightarrow \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{2}\leq 4$

 

Tới đây tiếp tục áp dụng AM-GM thì BĐT cuối đúng

Ta có đpcm 

Bạn ơi chỗ đó phải là $\sqrt{\frac{(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{4^{3}}}$ mới đúng chứ, nhưng của bạn chỉ là 4 thôi như thế cái CM lại ko đúng

@: uk chắc mình giải vội quá mà mình thấy đề này sao á@