Đến nội dung

huykinhcan99

huykinhcan99

Đăng ký: 03-04-2013
Offline Đăng nhập: 12-12-2023 - 10:02
****-

#742345 Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M sao cho $|\overrightarrow{...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 04-12-2023 - 10:53

Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M sao cho attachicon.gif CodeCogsEqn (1).gif

Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

$\iff \left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|$.

Gọi $I$ là điểm thoả mãn $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ ($I$ còn gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A$, $B$, $C$ ứng với tỷ số $(1;-1;1)$)

Trong trường hợp này, ta có thể dựng điểm $I$ bằng cách biến đổi $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB}$, tức $I$ thoả mãn $ABCI$ là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{MI}+\left(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{MI}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right| \iff MI=BA$.

Vậy $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$, bán kính $BA$, với $I$ là điểm thoả mãn $ABCI$ là hình bình hành.

 

Spoiler



#742172 Soạn đề có công thức toán học

Gửi bởi huykinhcan99 trong 21-11-2023 - 11:27

câu dẫn đang là font Times New Roman, còn công thức có vẻ là dùng MS Equation nên font có vẻ là Cambria Math...

 

nếu bạn không phàn nàn gì về việc dùng công thức font Times New Roman thì dùng một số gói đổi font như mathptmx gì đó...

 

còn nếu muốn giống y xì thì dùng XeLaTeX để đổi trực tiếp font luôn, dùng gói fontspec




#730115 Kinh nghiệm Olympic

Gửi bởi huykinhcan99 trong 04-09-2021 - 09:37

Em biết là như vậy nhưng mà hồi xưa học mấy cái này em thấy khó nên không nhai nổi, giờ thấy hối hận quá sắp thi mà nhìn mấy bài số, tổ ngợp nên không biết anh có những tài liệu nào hay để em đọc mấy ngày này không anh?

 

Tài liệu thì nhiều lắm, nhưng tổ hợp thì quyển Một số chuyên đề toán tổ hợp của thầy Phạm Minh Phương (quyển màu xanh xanh mà có sơ đồ Venn ở bìa ý), số học thì đọc sách của thầy Hà Huy Khoái, hình như tên cũng là Số học thì phải...




#730114 $f(x+y)=f(x)\times f(y)\forall x,y\in \mathbb{R...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 04-09-2021 - 09:15

Tìm tất cả hàm số: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)=f(x)\times f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

\begin{equation} \label{eq:1} f(x+y)=f(x)f(y) \end{equation}

Cho $x=0$, $y=0$ vào \eqref{eq:1} ta được $f(0)=\left[f(0)\right]^2 \iff \left[\begin{array}{l} f(0)=0 \\ f(0)=1 \end{array} \right.$

Nếu $f(0)=0$, cho $y=0$ vào \eqref{eq:1} ta được $f(x)=0, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Nếu $f(0)=1$, cho $y=x$ vào \eqref{eq:1} ta có $f\left(2x\right)=\left[f(x)\right]^2, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Cho $y=2x$ vào \eqref{eq:1} ta có $f(3x)=f(x)f(2x)=\left[f(x)\right]^3, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Giả sử ta có $f(nx)=\left[f(x)\right]^n, \quad \text{với } n\in \mathbb{N}$.

Khi đó, cho $y=nx$ vào \eqref{eq:1} ta có $f\left((n+1)x\right)=f(x)f(nx)=\left[f(x)\right]^{n+1}$.

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có

\begin{equation} \label{eq:2} f(nx)=\left[f(x)\right]^n, \quad \forall x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N} \end{equation}

Cho $x=1$ vào \eqref{eq:2} ta được $f(n)=\left[f(1)\right]^n, \quad \forall n\in \mathbb{N}$. Đặt $f(1)=a$ ta được $f(n)=a^n, \quad \forall n\in \mathbb{N}$.

Cho $y=-x$ vào \eqref{eq:1} ta được $1=f(0)=f(x)f(-x), \quad \forall n\in \mathbb{N}$. Khi đó ta có $f(-n) = \dfrac{1}{f(n)}=\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$.

Vậy $f(n)=a^n, \quad \forall n\in \mathbb{Z}$.

Cho $x=\dfrac1n$ vào \eqref{eq:2} ta được $f(1)=\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n\implies f\left(\dfrac{1}{n}\right)=a^\tfrac{1}n, \quad \forall n\in \mathbb{Z}$.

Cho $x=\dfrac{m}{n}, m, n \in \mathbb{Z}$ vào \eqref{eq:2} ta được $f\left(n\cdot\dfrac{m}{n}\right)=\left[f\left(\dfrac{m}{n}\right)\right]^n, \quad \forall m, n \in \mathbb{Z}$.

Mặt khác, theo \eqref{eq:2} ta có $f\left(n\cdot\dfrac{m}{n}\right)=f(m)=a^m, \quad \forall m\in \mathbb{Z}$.

Vậy $\left[f\left(\dfrac{m}{n}\right)\right]^n=a^m$, hay là $f\left(\dfrac{m}{n}\right)=a^\tfrac{m}{n},\quad \forall m,n \in \mathbb{Z}$.

Vậy $f(q)=a^q, \quad \forall q\in \mathbb{Q}$.

Do hàm số $f$ là liên tục nên chuyển qua giới hạn ta được $f(x)=a^x, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

 

Thử lại thoả mãn, vậy $f(x)=a^x, \quad \forall x\in \mathbb{R}$ ($a$ là hằng số bất kỳ)

 

P.S: Phương trình hàm nên đăng vào box Olympic chứ nhỉ?




#729981 $10+\sqrt(3)x^3+3x+\frac {\sqrt(3)}{x^3...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 29-08-2021 - 13:21

Điều kiện xác định $x\neq 0$.

 

Ta có

\begin{align*} &\phantom{\iff~} 10+\sqrt{3}x^3+3x+\frac {\sqrt{3}}{x^3}=5\sqrt{3}x^2+2x+\frac {2\sqrt{3}-1}{x}+\frac {5}{x^2} \\ &\iff \sqrt{3} x^6 - 5 \sqrt{3} x^5 + x^4 + 10 x^3 + (1 - 2 \sqrt{3}) x^2 - 5 x +\sqrt{3}=0 \\ &\iff \left(\sqrt{3} x^6 - 5 \sqrt{3} x^5 + 3x^4\right) -\left(2x^4-10x^3+2\sqrt{3}x^2\right)+\left(x^2-5x+\sqrt{3}\right)=0 \\ &\iff \left(x^2-5x+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}x^4-2x^2+1\right)=0 \\ &\iff \left[\begin{array}{l} x^2-5x+\sqrt{3}=0 \\ \sqrt{3}x^4-2x^2+1 =0 \end{array}\right. \\ &\iff \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{5-\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ x=\dfrac{5+\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ (\sqrt{3}-1)x^4+(x^2-1)^2 =0  \end{array}\right. \\&\iff \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{5-\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ x=\dfrac{5+\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ \left\{\begin{array}{l} x=0 \\ x^2=1 \end{array}\right.  \quad \text{(vô nghiệm)} \end{array}\right.   \end{align*}

 

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\dfrac{5-\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2}, x=\dfrac{5+\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2}$.




#729199 gpt: $(x+2)\sqrt{-x^2-2x+3}=x+3$

Gửi bởi huykinhcan99 trong 28-07-2021 - 13:33

gpt: $(x+2)\sqrt{-x^2-2x+3}=x+3$

 

Điều kiện xác định $-x^2-2x+3\geqslant 0 \iff -3\leqslant x \leqslant 1$.

 

Ta có \begin{align*} &\phantom{\iff ~} (x+2)\sqrt{-x^2-2x+3}=x+3 \\ &\iff (x+2)\sqrt{(1-x)(x+3)}=x+3 \\ &\iff \sqrt{x+3}\left[\left(x+2\right)\sqrt{1-x} -\sqrt{x+3}\right]=0  \\ &\iff \left[\begin{array}{l} \sqrt{x+3} =0 \\ (x+2)\sqrt{1-x}-\sqrt{x+3}=0 \end{array} \right. \end{align*}

 

Nếu $\sqrt{x+3}=0 \iff x=-3$, thoả mãn điều kiện.

 

Nếu \begin{align*} &\phantom{\iff~} (x+2)\sqrt{1-x}-\sqrt{x+3} = 0 \\ &\iff (x+2)\sqrt{1-x}=\sqrt{x+3}  \\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} (x+2)^2 (1-x) = x+3 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right. \\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} -x^3 - 3 x^2 - x + 1 = 0 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right.\\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} -(x+1)(x^2+2x-1) = 0 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right.\\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} -(x+1)(x^2+2x-1) = 0 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right. \\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x=-1 \\ x=-1+\sqrt{2} \\ x=-1-\sqrt{2} \end{array} \right. \\ x\geqslant -2 \end{array} \right. \\ & \iff \left[\begin{array}{l} x=-1 \\ x=-1+\sqrt{2} \end{array} \right.  \end{align*}

 

Thu được nghiệm $x=-1$ và $x=-1+\sqrt{2}$, thoả mãn điều kiện.

 

Vậy phương trình có các nghiệm $x=-1$, $x=-3$, $x=-1+\sqrt{2}$.




#728595 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO $\boxed{\text...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 03-07-2021 - 21:58

Cách này có vẻ không được hay cho lắm vì đã có tổng quát giải PTB4

 

 

 

Đây là công thức tổng quát mà em :D




#728566 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO $\boxed{\text...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 02-07-2021 - 21:46

Em xin góp một bài

$\boxed{32}$ $\sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0$

 

Ôi nhớ ngày xưa ôn chuyên quá...
Giờ già rồi chắc không còn khéo léo như xưa nữa nên mình chắc tay to chút thôi...

 

P.S: Sau khi ngồi làm bài này thì mình thấy khả năng cực cao là sai đề, vì đi thi thế này thì chết hết...

 

\begin{align*} &\phantom{\iff} \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0 \\ &\iff \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}=3x^{2}+10x-5 \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 2\left(x^4+4\right)=\left(3x^2+10x-5\right)^2 \\ 3x^2+10x-5\geqslant 0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0 \\ \left[ \begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.  \end{align*}

 

Spoiler
 

Ta giải phương trình $7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0$.`

\begin{align*} &\iff x^4 + \dfrac{60}7 x^3 + 10 x^2 - \dfrac{100}7 x + \dfrac{17}7=0 \\ &\iff \left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)^2=\dfrac{410}{49}x^2+\dfrac{100}{7}x-\dfrac{17}{7} \end{align*}

 

Thêm tham số $y$, ta cộng cả hai vế của phương trình với $\left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)y+\dfrac{y^2}{4}$, thu được
\[\left(x^2+\dfrac{30}{7}x+\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(y+\dfrac{410}{49}\right)x^2+\left(\dfrac{30}7 y+ \dfrac{100}{7}\right) x+ \dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7} \]
 
Ta sẽ chọn tham số $y$ để vế phải của phương trình trên cũng là bình phương của một đa thức biến $x$. tức là biệt thức của tam thức biến $x$ đó phải bằng $0$.
 
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \left(\dfrac{30}{7}y+\dfrac{100}{7}\right)^2-4\left(y+\dfrac{410}{49}\right)\left(\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}\right)=0 \\ &\iff -y^3+10y^2+\dfrac{6476}{49}y +\dfrac{97880}{343}=0 \end{align*}
 
Đặt $z=y-\dfrac{10}{3}$, khi đó phương trình có dạng
\[-z^3+\dfrac{24328}{147}z+\dfrac{7408640}{9261}=0\]
 
Đặt $z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos t$. Khi đó phương trình trở thành $-\dfrac{389248\sqrt{6082}}{9261} \cos^3t+\dfrac{97312\sqrt{6082}}{3087} \cos t+\dfrac{7408640}{9261}=0$
\begin{align*} &\iff -\dfrac{32}{9261}\left(12164\sqrt{6082}\cos^3t-9123\sqrt{6082}\cos t-231520\right)=0 \\ &\iff 12164\sqrt{6082}\cos^3t-9123\sqrt{6082}\cos t-231520=0 \\ &\iff 3041\sqrt{6082} \left(4\cos^3t-\cos t\right)=231520 \\ &\iff \cos 3t=\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681} \\ &\iff 3t = \pm \arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+k2\pi \quad (k\in \mathbb{Z}) \\ &\iff t = \pm \dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+k\dfrac23\pi \quad (k\in \mathbb{Z}) \end{align*}
 
Từ đó ta có $\left[ \begin{array}{l} z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right) \\z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+\dfrac{2\pi}{3}\right) \\z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}-\dfrac{2\pi}{3}\right)  \end{array}\right.$
 
Khi đó $\left[ \begin{array}{l} y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right) \\y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+\dfrac{2\pi}{3}\right) \\y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}-\dfrac{2\pi}{3}\right)  \end{array}\right.$
 
Ta chọn $y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right)$.
 
Spoiler
 
Với $y$ như trên thì ta thu được $\left(x^2+\dfrac{30}{7}x+\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}x + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}}\right)^2$
\[\iff \left[ \begin{array}{l} x^2+\left(\dfrac{30}{7}+\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}\right)x+\dfrac{y}{2} + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}} =0  \\ x^2+\left(\dfrac{30}{7}-\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}\right) x+\dfrac{y}{2}- \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}} =0 \end{array}\right.\]
 
Giải hai phương trình trên và kết hợp điều kiện $\left[\begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array} \right.$ ta thu được các nghiệm
\[\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \quad \text{(loại)} \\x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49}} \quad \text{(loại)} \end{array}\right.\]
 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 
\[\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} }  \end{array}\right.\]
với $y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right)$.



#724346 Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$

Gửi bởi huykinhcan99 trong 30-07-2019 - 15:31

Do $a+b+c\ \vdots \ 4$ nên ta đặt $4k=a+b+c$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó ta có

\begin{align*} A&=(a+b)(b+c)(c+a)-abc \\ &=(a+b)(4k-a)(4k-b)-ab(a+b) \\ &=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k  ) \end{align*}

 

Nếu trong hai số $a$, $b$ có một số chẵn thì $ab$ chẵn, nếu $a$, $b$ đều lẻ thì $a+b$ chẵn, do đó ta luôn có $ab(a+b)$ chẵn.

 

Vậy ta có $A=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k  )\ \vdots \ 4$.




#724312 $n\epsilon \mathbb{N},10^{3n+1}=a^{3...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 29-07-2019 - 17:01

 

Ta có 103n+1103n.101000n.3±3 (mod 7)103n+1≡103n.10≡1000n.3≡±3 (mod 7)

Tức 103n+1103n+1 chia 7 dư 3 hoặc 4 với mọi nn. Mà a30,1,6 (mod 7)a3≡0,1,6 (mod 7) nên a3+b3≢3,4 (mod 7)a3+b3≢3,4 (mod 7)

Suy ra PT vô nghiệm

 

 

copy trực tiếp từ trên xuống thì có ý nghĩa gì?




#722652 Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$

Gửi bởi huykinhcan99 trong 31-05-2019 - 23:07

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có

\[\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)\left(x^4+y^4+8z^4\right)\geqslant \left(x+y+z\right)^4\]

 

Vậy ta có $x^4+y^4+8z^4\geqslant \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)^3}=\dfrac{648}{125}$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2z=\dfrac{6}{5}$. Vậy $a=648$, $b=125$. Khi đó $a-b=523$.




#722587 Đề tuyển sinh chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2019 - 2020 (Đề chung)

Gửi bởi huykinhcan99 trong 28-05-2019 - 21:43

Đề vòng ngoài mà sao có vẻ căng thế ha :3 Chém thử vài câu nào :3

Câu 1.
1) \begin{align*} P & = \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^2+3}{\left(\dfrac{a-1}{a+1}\right)^2+3}:\dfrac{a^3+1}{a^3-1}-\dfrac{2a}{a-1} \\ &= \dfrac{\dfrac{4a^2-4a+4}{(a-1)^2}}{\dfrac{4a^2+4a+4}{(a+1)^2}}:\dfrac{a^3+1}{a^3-1}-\dfrac{2a}{a-1} \\ &=\dfrac{a+1}{a-1}-\dfrac{2a}{a-1} \\ & =\dfrac{-a+1}{a-1} = -1\end{align*}

 

2) Từ giả thiết $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a$ thì ta có

\[x^2+y^2+\sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4x^2}+2\sqrt{\left(x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}\right)\left(y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}\right)}=a^2\]

 

Chú ý rằng ta có

\begin{align*} \sqrt{\left(x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}\right)\left(y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}\right)} & =\sqrt{y^2\sqrt[3]{x^4y^2}+x^2\sqrt[3]{y^4x^2}+2x^2y^2} \\ &= \sqrt{\left(\sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4x^2}\right)} \\ & = \left|\sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4x^2}\right| \\ & = \sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4x^2} \end{align*}

 

Vậy ta có $x^2+y^2+3\sqrt[3]{x^4y^2}+3\sqrt[3]{y^4x^2}=a^2 \iff \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)^3=a^2 \iff \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$

 

Câu 2.

Gọi $x>0$ (km) là khoảng cách từ $A$ đến $C$. Khi đó $20-x$ (km) là khoảng cách từ $B$ đến $C$.

 

Sau 2 giờ kể từ khi xuất phát, An đi từ $A$ đến $C$ với vận tốc là $\dfrac{x}{2}$ (km/h), Bình đi từ $B$ đến $C$ với vận tốc là $\dfrac{20-x}{2}$ (km/h).

 

Sau 15 phút nghỉ, An đi từ $C$ đến $B$ với vận tốc là $\dfrac{x}{2}-1$ (km/h), do đó sẽ mất thời gian là $\dfrac{20-x}{\dfrac{x}{2}-1}$ (giờ). Tương tự thời gian để Bình đi từ $C$ đến $A$ là $\dfrac{x}{\dfrac{20-x}{2}+1}$ (giờ).

 

An đến $B$ sớm hơn Bình tới $A$ 48 phút, tức $\dfrac{4}{5}$ giờ, do đó thời gian An đi từ $C$ đến $B$ ít hơn thời gian Bình đi từ $C$ đến $A$ là $\dfrac{4}{5}$ giờ.
 

Vậy ta có phương trình 

\[\dfrac{20-x}{\dfrac{x}{2}-1}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{x}{\dfrac{20-x}{2}+1} \iff \dfrac{4(x+88)(x-12)}{5(x-2)(x-22)}=0 \iff x=12\]

 

Vận tốc của An trên quãng đường $AC$ là $6$ km/h.

 

Câu 3.

1) Để $1$ và $a$ là hai nghiệm của phương trình $P(x)=0$ thì ta phải có \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} P(1)=0 \\ P(a)=0  \end{array} \right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l} a+b=-1 \\ 2a^2+b=0  \end{array} \right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l} b=-a-1 \\ 2a^2-a-1=0  \end{array} \right. \\ \iff \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=-2  \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} a=-\dfrac{1}{2} \\ b=-\dfrac{1}{2}  \end{array} \right. \end{array} \right. \end{align*}

 

Thử lại ta thấy $a=b=-\dfrac12$ thoả mãn.




#719036 $$2\cos 3x-2\cos 2x +2\cos x -1=0$$

Gửi bởi huykinhcan99 trong 03-01-2019 - 16:03

Giải phương trình

$$2\cos 3x-2\cos 2x +2\cos x -1=0$$




#714830 CMR $\forall n\in N, n\geq 2$, ta có $1+\f...

Gửi bởi huykinhcan99 trong 26-08-2018 - 15:54

Đầu tiên, với $i$ tự nhiên ta có

\[\dfrac{1}{i^2} < \dfrac{1}{i(i-1)} = \dfrac{i-\left(i-1\right)}{i(i-1)} = \dfrac{1}{i-1}-\dfrac{1}{i} \quad \left(2<i<n\right)\]

 

Khi đó ta có

\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} 1+\dfrac{1}{2^2}+\ldots+\dfrac{1}{n^2} < 1+\left(1-\dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +\ldots +\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)=2-\dfrac{1}{n}\end{equation}




#696932 TỔNG VÔ HẠN SỐ DƯƠNG LÀ......1 SỐ ÂM

Gửi bởi huykinhcan99 trong 20-11-2017 - 23:15

À, hình như cái này coi là chuỗi vô hạn thì nó phân kỳ, nên không tương đương một số thực nào cả...

Một ví dụ vui tương tự là tổng $1-1+1-1+\ldots$, có thể có vài cách tính khác nhau :D

\begin{align*} S&=1-1+1-1+\ldots=\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\ldots=0\\ S&=1-1+1-1+\ldots=1-\left(1-1\right)-\left(1-1\right)-\ldots=1 \end{align*}

hoặc

\begin{align*} S&=1-1+1-1+\ldots=1-\left(1-1+1-1+\ldots\right)=1-S \\ \implies S&=\dfrac{1}{2}\quad\text{(chỗ này vô lý nhất, cộng các số nguyên lại nó lại ra số không nguyên)}\end{align*}