Đến nội dung


quanghung86

Đăng ký: 14-06-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

Hôm qua, 22:29

Bài toán 10 (TTT2 số 165). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với $AB<AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AD$ là đường kính của $(O)$. $DB$ cắt $OT,AT$ tại $E,F$. $EO$ cắt $(AEF)$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác $AGB$ nằm trên $(O)$.

 

(Bài này đã hết hạn trên TTT2 nhưng mình thấy đáp án trên báo hơi dài, hôm qua có một bạn giải ngắn gọn hơn) 


Trong chủ đề: Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

Hôm qua, 22:20

Cám ơn em, để thầy sửa lại bài toán 9 cho không trùng lặp. Xin đưa ra lời giải của mình cho bài toán 7.

 

File gửi kèm  Figure3829a.png   9.99K   0 Số lần tải

 

Lời giải bài toán 7. 1) Ta có $\angle DEC=\angle DMC=\angle DFB$ và $\angle ECD=\angle FBD$ nên hai tam giác $DBF$ và $DCE$ đồng dạng g.g. Từ đó $\angle EMC=\angle EDC=\angle FDB=\angle FMB$ nên $E,M,F$ thẳng hàng. 

 
2) Lại có $AE.AC=AM.AD=AB.AF$ nên tứ giác $BECF$ nội tiếp. Từ đó $AO\perp EF$ nên $AO\perp ME$.
 
3) Chú ý hai tam giác $DBF$ và $DCE$ đồng dạng nên $\frac{S_{DBF}}{S_{DCE}}=\frac{BF^2}{CE^2}$. Từ đó  $1=\frac{MB}{MC}=\frac{S_{DAB}}{S_{DAC}}=\frac{S_{DAB}}{S_{DBF}}.\frac{S_{DBF}}{S_{DEC}}.\frac{S_{DEC}}{S_{DAC}}=\frac{AB}{BF}.\frac{BF^2}{CE^2}.\frac{CE}{AC}=\frac{AB.BF}{AC.CE}$.  Từ đó $\frac{BF}{CE}=\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}=\frac{NF}{NE}$. Từ đó vẫn theo tính chất phân giác thì $\frac{PN}{PC}=\frac{EN}{EC}=\frac{FN}{FB}=\frac{QN}{QB}$ nên $PQ\parallel BC$.

Trong chủ đề: Một số đề hình học năm 2017 trên thế giới

Hôm qua, 11:42

Bài toán 12 (Tập huấn đội Hàn Quốc 2017). Ba đường tròn $(K_a),(K_b),(K_c)$ tiếp xúc ngoài đôi một. Ba đường tròn $(I_a),(I_b),(I_c)$ tiếp xúc ngoài đôi một. Trong đó $(K_a)$ tiếp xúc ngoài $(I_b),(I_c)$ tại $B_a,C_a$. Tương tự có $C_b,A_b, A_c,A_b$. Chứng minh rằng sáu điểm  $B_a,C_a,C_b,A_b, A_c,A_b$ đồng viên.

 

File gửi kèm  Figure4306.png   116.11K   0 Số lần tải


Trong chủ đề: VMF's Marathon Hình học Olympic

Hôm qua, 01:44

Bài toán 134 là một mở rộng của bài chọn đội tuyển Mỹ mình đã post ở đây trong #11 và các lời giải ở #12,#13 và #15.

 

Ta xét một bài toán tổng quát hơn của bài toán 135, có thể coi là bổ đề.

 

Bài toán 135'. Cho tam giác $ABC$ và $P$ nằm trong tam giác. $PA,PB,PC$ cắt $(O)$ tại $D,E,F$. $X,Y,Z$ đối xứng $D,E,F$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $(XYZ)$ đi qua trực tâm $H$ của $ABC$.

 

Giải. Vì $D,X$ đối xứng qua trung điểm $BC$ nên hai tam giác $ABC$ và $ADX$ có chung trung tuyến hay có chung trọng tâm $G$. Từ đó $X$ là ảnh vị tự trung điểm $U$ của $AD$ qua phép vị tự tâm $G$ tỷ số $-2$. Tương tự $Y,Z$ là ảnh vị tự tâm $G$ tỷ số $-2$ của $V,W$ lần lượt là trung điểm của $BE,CF$. Dễ thấy $O,U,V,W$ nằm trên đường tròn đường kính $OP$ nên $(XYZ)$ đi qua ảnh vị tự của $O$ trong qua phép vị tự tâm $G$ tỷ số $-2$ chính là $H$. Ta hoàn tất chứng minh,

 

Trở lại bài toán 135. Ta chỉ cần $P$ di chuyển trên một đường thẳng cố định đi qua $A$. Gọi đường thẳng đó cắt $(O)$ tại $L$ thì đường tròn $(HRS)$ luôn đi qua đối xứng của $L$ qua trung điểm $BC$ cố định nên tâm của $(HRS)$ thuộc một đường thẳng cố định.

 

Mình xin đề nghị bài tiếp.

 

Bài toán 136. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(J)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $(J)$ tại $M$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $(J)$ tại $N$. $BM$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $\angle PAB=\angle DAC$.


Trong chủ đề: Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

18-01-2017 - 21:48

Cám ơn em, các em cứ đề xuất các đề thi cấp 3 hoặc hsg thành phố và tỉnh thoải mái vào topic, miễn là theo tiêu chí đẹp và có giá trị ôn thi chuyên và phù hợp chương trình THCS. Mình hơi nhiều việc nên không update thường xuyên nhưng mình vẫn cố hết sức giữ lửa cho topic. Xin đề nghị các bài toán tiếp.

 

Bài toán 7 (Chuyên Vĩnh Phúc 2016 vòng 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $AM$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$ khác $B$.

 

1) Chứng minh rằng hai tam giác $BDF,CDE$ đồng dạng và ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.
 
2) Chứng minh rằng $OA \perp EF$.
 
3) Phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt $EF$ tại điểm $N$. Phân giác của các góc $\widehat{CEN}$ và $\widehat{BFN}$ lần lượt cắt $CN,BN$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.
 
Bài toán 8 (Chuyên Hà Nội 2016 vòng 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. Phân giác góc $\angle CGE,\angle BGF$ cắt $CA,AB$ tại $M,N$. $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. 
 
1) Gọi $AK$ cắt $GH$ tại $P$. Chứng minh rằng $G$ và $P$ đều nằm trên $(K)$.
 
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $M,N$ của $(K)$ cắt nhau trên $(O)$.
 
Bài toán 9 (Mở rộng đề THPT chuyên KHTN 2016 vòng 1). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E,F$ thuộc $(O)$ sao cho $EF\parallel BC$. $AE,AF$ cắt $BC$ tại $M,N$. $P,Q,R$ là trung điểm của $AM,AN,AC$. $BP,BQ$ cắt đường tròn $(EPR),(FQR)$ tại $S,T$ khác $P,Q$. Chứng minh rằng $\angle ASC+\angle ATC=180^\circ$.