Đến nội dung


quanghung86

Đăng ký: 14-06-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#668983 Bài toán T12/471 THTT

Gửi bởi quanghung86 trong Hôm nay, 00:11

Bài toán T12/471 THTT đã đăng lời giải trên số 475. Mình xin phép đăng đề lên để thảo luận. Mình có tìm ra một số mở rộng cho bài toán này. Theo mình đề bài nên viết như sau sẽ đẹp hơn trên báo

 

Bài toán T12/471. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. Gọi $AP,AQ$ là đường kính của các đường tròn $(AIB),(AIC)$. $M,N$ thuộc $BC$ sao cho $PM\parallel QN\parallel AI$. Chứng minh rằng $\angle MAB=\angle NAC$.

 

Figure4270.png




#668940 Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

Gửi bởi quanghung86 trong Hôm qua, 22:29

Bài toán 10 (TTT2 số 165). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với $AB<AC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AD$ là đường kính của $(O)$. $DB$ cắt $OT,AT$ tại $E,F$. $EO$ cắt $(AEF)$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác $AGB$ nằm trên $(O)$.

 

(Bài này đã hết hạn trên TTT2 nhưng mình thấy đáp án trên báo hơi dài, hôm qua có một bạn giải ngắn gọn hơn) 




#668820 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong Hôm qua, 01:44

Bài toán 134 là một mở rộng của bài chọn đội tuyển Mỹ mình đã post ở đây trong #11 và các lời giải ở #12,#13 và #15.

 

Ta xét một bài toán tổng quát hơn của bài toán 135, có thể coi là bổ đề.

 

Bài toán 135'. Cho tam giác $ABC$ và $P$ nằm trong tam giác. $PA,PB,PC$ cắt $(O)$ tại $D,E,F$. $X,Y,Z$ đối xứng $D,E,F$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $(XYZ)$ đi qua trực tâm $H$ của $ABC$.

 

Giải. Vì $D,X$ đối xứng qua trung điểm $BC$ nên hai tam giác $ABC$ và $ADX$ có chung trung tuyến hay có chung trọng tâm $G$. Từ đó $X$ là ảnh vị tự trung điểm $U$ của $AD$ qua phép vị tự tâm $G$ tỷ số $-2$. Tương tự $Y,Z$ là ảnh vị tự tâm $G$ tỷ số $-2$ của $V,W$ lần lượt là trung điểm của $BE,CF$. Dễ thấy $O,U,V,W$ nằm trên đường tròn đường kính $OP$ nên $(XYZ)$ đi qua ảnh vị tự của $O$ trong qua phép vị tự tâm $G$ tỷ số $-2$ chính là $H$. Ta hoàn tất chứng minh,

 

Trở lại bài toán 135. Ta chỉ cần $P$ di chuyển trên một đường thẳng cố định đi qua $A$. Gọi đường thẳng đó cắt $(O)$ tại $L$ thì đường tròn $(HRS)$ luôn đi qua đối xứng của $L$ qua trung điểm $BC$ cố định nên tâm của $(HRS)$ thuộc một đường thẳng cố định.

 

Mình xin đề nghị bài tiếp.

 

Bài toán 136. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(J)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $(J)$ tại $M$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $(J)$ tại $N$. $BM$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $\angle PAB=\angle DAC$.




#668794 Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

Gửi bởi quanghung86 trong 18-01-2017 - 21:48

Cám ơn em, các em cứ đề xuất các đề thi cấp 3 hoặc hsg thành phố và tỉnh thoải mái vào topic, miễn là theo tiêu chí đẹp và có giá trị ôn thi chuyên và phù hợp chương trình THCS. Mình hơi nhiều việc nên không update thường xuyên nhưng mình vẫn cố hết sức giữ lửa cho topic. Xin đề nghị các bài toán tiếp.

 

Bài toán 7 (Chuyên Vĩnh Phúc 2016 vòng 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $AM$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$ khác $B$.

 

1) Chứng minh rằng hai tam giác $BDF,CDE$ đồng dạng và ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.
 
2) Chứng minh rằng $OA \perp EF$.
 
3) Phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt $EF$ tại điểm $N$. Phân giác của các góc $\widehat{CEN}$ và $\widehat{BFN}$ lần lượt cắt $CN,BN$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.
 
Bài toán 8 (Chuyên Hà Nội 2016 vòng 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. Phân giác góc $\angle CGE,\angle BGF$ cắt $CA,AB$ tại $M,N$. $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. 
 
1) Gọi $AK$ cắt $GH$ tại $P$. Chứng minh rằng $G$ và $P$ đều nằm trên $(K)$.
 
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $M,N$ của $(K)$ cắt nhau trên $(O)$.
 
Bài toán 9 (Mở rộng đề THPT chuyên KHTN 2016 vòng 1). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E,F$ thuộc $(O)$ sao cho $EF\parallel BC$. $AE,AF$ cắt $BC$ tại $M,N$. $P,Q,R$ là trung điểm của $AM,AN,AC$. $BP,BQ$ cắt đường tròn $(EPR),(FQR)$ tại $S,T$ khác $P,Q$. Chứng minh rằng $\angle ASC+\angle ATC=180^\circ$.



#668773 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 18-01-2017 - 17:19

Bài toán 133' của Khánh có thể viết dưới dạng tứ giác như sau

 

Bài toán 133'. Cho tứ giác $ABCD$ với $P,M,N$ lần lượt thuộc $AB,BC,AD$. $PC,PD$ lần lượt cắt $AM,BN$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $DQ,CR,MN$ đồng quy.

 

Figure4269.png

 

Giải. Gọi $MN$ cắt $ABPD,PC$ lần lượt tại $G,S,T$. Ta thấy $(PS,DR)=N(PS,DR)=(PG,AB)=M(PG,AB)=M(PT,QC)=(PT,QC)$ suy ra $DQ,CR,MN$ đồng quy.




#668747 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 18-01-2017 - 09:42

Cảm ơn Quân và Khánh, bài toán 133 thầy chế lại từ đây http://artofproblems...nity/c6h1279917, mục đích của thầy là lấy điểm $R$ thuộc $MN$ sao cho $AR\perp EF$ rồi sau đó chứng minh $BQ,CP$ đi qua $R$ nhưng Quân chứng minh cách khác đẹp. Chú ý rằng bài toán này và bài toán của Khánh có thể đúng với $H$ bất kỳ thay vì trực tâm. Nhưng để chứng minh $AR\perp EF$ thì cần $H$ là trực tâm.

 

Bài toán 134. Cho tam giác $ABC$ và $DEF$ là tam giác pedal của $P$ bất kỳ. $(DEF)$ cắt $BC$ tại $G$ khác $D$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $EF$ cắt $DE,DF$ tại $M,N$. Đường tròn $(DMN)$ cắt $(DEF)$ tại $Q$ khác $D$. Lấy $T$ sao cho $TM\perp AC,TN\perp AB$. $AT$ cắt $BC$ tại $S$. Chứng minh bốn điểm $A,Q,G,S$ đồng viên.




#668737 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 23:20

Cám ơn Khánh về lời giải rất ngắn gọn. Bài này thầy dạy đội tuyển KHTN đã lâu rồi nên chưa tìm lại được link gốc. Mình xin đề nghị bài tập tiếp cho topic tiếp tục

 

Bài toán 133 (Chế lại từ AoPS). Cho tam giác $ABC$ nhọn với trực tâm $H$. Một đường thẳng qua $H$ cắt cạnh $CA,AB$ tại $E,F$. Một đường thẳng qua $H$ song song $BC$ cắt $CA,AB$ tại $M,N$. $HB,HC$ lần lượt cắt $EN,FM$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $BQ,CP,MN$ đồng quy.

 

Figure4267.png




#668710 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 20:46

Cám ơn Bảo và Quân, thầy đề nghị bài tiếp cho topic tiếp tục

Bài toán 132. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với đường kính $AD,BE,CF$. $P$ là điểm bất kỳ. $PD,PE,PF$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z$ khác $D,E,F$. Gọi $U,V,W$ là tâm Euler của tam giác $XBC,YCA,ZAB$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $UVW$ đi qua tâm Euler của tam giác $ABC$.


#668664 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 15:16

Cám ơn Khánh bài toán gốc ở đây phần chú ý trong #3 tại đây và lời giải ở trong #4, xin trích lại lời giải của Luis González

 

Lời giải khác bài toán 129. Gọi các tiếp tuyến của $(ABC)$ cắt nhau tại $A',B',C'$. Chú ý $\angle ACE=\angle ACX=\angle ABZ=\angle ABF$ và $\angle ACB'=\angle ABC,$ $\angle ABC'=\angle ACB$ nên $C(Y,E,B,B')=B(Z,F,C,C')$ suy ra $B(Y,E,C,B')=C(Y,E,B,B')=B(Z,F,C,C')=C(Z,F,B,C')$. $Q \equiv BY \cap CZ,$ $P \equiv BE \cap CF$ và $K \equiv BB' \cap CC'$ thẳng hàng.

 

Mình xin đề nghị bài tiếp.

 

Bài toán 130 (Từ đề thi Ba Lan). Cho lục giác $ABCDEF$ có các cạnh bằng nhau và $\angle A+\angle C+\angle E=\angle B+\angle D+\angle F$. Chứng minh rằng $AD,BE,CF$ đồng quy.




#668659 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 13:40

Cám ơn Khánh đã dẫn lại link. Gốc gác bài toán 128 là mình tổng quát hóa tính chất điểm Prasolov http://www.artofprob...h453505p2549205 và đã post nó ở đây http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h455311. Như vậy là Bảo đã đưa ra tổng quát hơn nữa rất thú vị. Vậy nhờ Bảo dịch lại đáp án của mình sang tiếng Việt và post lên điên đàn. 

 

Mình đã nhận được ảnh từ bạn Đỗ Việt Hoàng lời giải cho bài toán 127 bằng hình học không gian thú vị, xin đăng lại ảnh đó, nhưng lưu ý bạn cần dùng latex và nên gõ lại đáp án cẩn thận.

 

IMG_20170117_123246.jpg

 

Mình xin đề xuất bài mới.

 

Bài toán 129 (AoPS). Cho tam giác $ABC$. $D$ và $X$ lần lượt nằm trong và nằm ngoài tam giác sao cho $\angle DBC=\angle DCB=\angle XBC=\angle XCB=\theta$. Dựng tương tự các điểm $E,F,Y,Z$. Ta biết rằng $AD,BE,CF$ đồng quy tại $P$ và $AX,BY,CZ$ đồng quy tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ đi qua điểm cố định khi $\theta$ thay đổi. 




#668649 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 12:10

Cảm ơn Quân và Bảo với các lời giải rất hay. Gốc của bài toán 126 là ở đây http://www.artofprob...munity/c6h85003, bài toán 126 có hướng phát triển theo kiểu chiếu song song nhưng khá rắc rối. Bài toán 127 cũng là bài toán hay và lạ trên hình vuông,  vietdohoangtk7nqd có thể dẫn nguồn gốc không ? Mình xin đề nghị bài tiếp

 

Bài toán 128. Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $BE$ cắt $CF$ tại $G$. $AG$ cắt $BC$ tại $H$. $L$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. $M$ là trung điểm $BC$. $MK$ cắt $(KEF)$ tại $N$. Chứng minh rằng $\angle LAB=\angle NAC$.




#668645 Một số đề hình học năm 2017 trên thế giới

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 10:56

Cám ơn bạn, mình cũng thấy hai bài hình này của Ấn Độ nhưng vì bài toán 11 có liên quan một chút tới số học còn bài toán 10 thì hình như đã là đề Sharygin rồi nên mình lăn tăn chưa đưa lên.

 

Bài toán 10 có thể xem tại đây http://geometry.ru/o...finsols-eng.pdf bài toán 3 cho lớp 8, mình đã có một mở rộng ở đây http://www.artofproblemsolving.com/community/q2h1311625p7028614 mong mọi người quan tâm.




#668627 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 00:58

vietdohoangtk7nqd cần đề nghị bài tiếp nhưng vì lâu nên để bạn ấy đề nghị sau, để topic không bị gián đoán mình xin đề nghị bài tiếp

 

Bài toán 126 (AoPS). Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $P$ nằm trên đường thẳng $OI$ của tam giác $ABC$. $X,Y,Z$ đối xứng $P$ qua $IA,IB,IC$. Chứng minh rằng $DX,EY,FZ$ đồng quy.




#668626 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 17-01-2017 - 00:35

Cám ơn các em đã đóng góp.

 

Figure4266.png

 

Đáp án bài 125. Dựng đường tròn $(B)$ tiếp xúc $AC$. Các tiếp tuyến tại $C,A$ của $(B)$ cắt nhau tại $F$. Từ dữ kiện đề bài dễ thấy hai tam giác $\triangle EDA=\triangle BCF$ g.c.g. Từ đó $EA=BF$ mà $BE\parallel AF$ nên tứ giác $BEAF$ có thể là một hình thang cân hoặc hình bình hành. Nhưng $\angle AEB<\angle AED=\angle CBF<\angle EBF$ do đó $BEAF$ là một hình bình hành. Dễ suy ra $BCDE$ là hình bình hành.




#668619 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 16-01-2017 - 23:41

Cám ơn em đã đóng góp xây dựng, mọi đóng góp ở mức độ nào đều là đáng trân trọng. Ai cũng phải học hỏi vì kiến thức là vô hạn kể cả trong nội tại hình học sơ cấp, thầy cũng phải luôn học tập và cố gắng hơn.

 

 

Nói qua về bài tập này http://artofproblems...c6t48f6h1368124, mình có 1 phát hiện nhỏ, nếu định nghĩa các điểm $Y,Z$ tương tự thì $IX=IY=IZ$ nói cách khác ta có thể chứng minh được $AX,BY,CZ$ đồng quy.