shinichikudo201

Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn với một số $n>2$ nào đó, nếu $m^{n}\equiv 1(mod n)$ thì $m\equiv 1(mod n)$

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$

Giá trị nhỏ nhất mà bạn

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}$

Có lẽ bài này không thể tìm được GTNN.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.

(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ 5-x=b& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5;a;b\geq 0 & \\ P=a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}& \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P^2= (\sqrt{a}.\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(a+1)})^{2}\leq (a+b)[a(b+1)+b(a+1)]= 5(2ab+5)$

ngoài ra với $2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2= \frac{25}{2}$ ta suy ra được $max P=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ đạt được tại $a=b=\frac{5}{2}$

1/Chứng minh $-\sqrt{a^2+b^2}\leq a\sin (t)+b\cos (t)\leq \sqrt{a^2+b^2}$ với $\forall t;a;b\in \mathbb{R}$

2/Tìm min; max của $2a^2-3ab+4b^2$ với $\forall a;b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$

1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:

$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$

(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát) 

2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:

$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$

3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.

Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$

4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:

$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.

5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?

6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$

(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:

Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)

Bạn chỉ ra thử mình đọc sai chỗ nào vậy

(Kiểu này có khi lại bị nhắc nhở vì spam mất).

Đề là $\frac{(5^p-2^q)(5^q-2^p)}{pq}$ chứ không phải là $\frac{(5^p-2^p)(5^q-2^q)}{pq}$ 

Đâu nhầm đâu, ra nghiệm $(p,q)=(3,3),(13,3), (3,13)$ mà.

Không mất tính tổng quát, giả sử $p\leqslant q$, nếu $p=q$ thì $p=q=3$

Nếu $p=3, q>3$ thì $13(5^q-2^q)\equiv 0\pmod{q}$, mà $5^q-2^q\equiv 3\pmod{q}$ nên $q=13$

Nếu $q>p>3$, do $5^p-2^p\equiv 3\pmod{p}$ nên $5^q-2^q\equiv 0\pmod{p}$

Do $p,q\ne 5$ nên $5^{p-1}-2^{p-1}\equiv 0\pmod{p}$ và $(q,p-1)=1$ nên tồn tại $m,n>0$ sao cho $|mq-(p-1)n|=1$

Do đó $5^{n(p-1)}2^{mq}\equiv 2^{n(p-1)}5^{mq}\pmod{p}$ hay $5\equiv 2\pmod{p}$ hay $p=3$ vô lý.

Sai ngay từ khâu đọc đề 

Cho tập $X$ có $n$ phần tử phân biệt, hai tập $A_{1}; A_{2}$ là hai tập con bất kì của $X$. Ta tính số phần tử của $A_{1}\cap A_{2}$, chứng minh tổng tất cả các số nhận được bằng $n.4^{n-1}$

P/s: Bạn nào có tài liệu gì hay về dạng này cho mình tham khảo nhé. Thanks.

1, Chứng minh không thể có $x; y; z >0$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=25 & \\ y^2+yz+z^2=49 & \\ z^2+xz+x^2=121 & \end{matrix}\right.$

Giả sử tồn tại x; y; z thỏa mãn bài toán.

$x^2< 25\Rightarrow x< 5; z^2< 49\Rightarrow z< 7.\Rightarrow x^2+xz+z^2< 107< 121$

CMR $a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\geq 2$

thank

$VT= (a+b)^2+\frac{(ab+1)^2}{(a+b)^2}-2ab\geq 2(ab+1)-2ab=2$

Cho $a \ge -1 , b \ge -1 $. Chứng minh $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \le 4$

xem lại đề đi bạn ví dụ như thêm $a+b=2$ chăng ??

Giải bài toán với $a+b=6$.

Theo $C-S$ ta có:

$VT^2\leq 2(a+b+2)=16$

$a+b+c=3abc\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=> $(abc)^{3}\geqslant abc => abc\leqslant 1$=> a+b+c \leqslant 3$

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geqslant \frac{3}{abc}\geqslant \frac{3}{1}=3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

$a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}=2$

Không có GTLN thì phải.

1,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ 0\leq x;y;z\leq 2 & \end{matrix}\right.$

Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

 

Đặt $x=a+1; y= b+1; z=c+1$

$\Rightarrow a+b+c=0; a; b; c\epsilon [-1; 1]$

Khi đó $A=a^2+b^2+c^2+3$

Mà $a+b+c=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2= -2(ab+bc+ac)$

Mặt khác $\prod (1-a)(1+b)\geq 0\Rightarrow -(ab+bc+ca)\geq 1$

Vậy $A\geq 2.1+3=5$