Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn với một số $n>2$ nào đó, nếu $m^{n}\equiv 1(mod n)$ thì $m\equiv 1(mod n)$
- bangbang1412 yêu thích
Tư tưởng của chúng ta phải ngang tầm vĩ đại với tự nhiên
khi ta muốn tìm hiểu tự nhiên.
Sherlock Holmes
Gửi bởi shinichikudo201 trong 26-05-2016 - 19:38
Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn với một số $n>2$ nào đó, nếu $m^{n}\equiv 1(mod n)$ thì $m\equiv 1(mod n)$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 24-11-2015 - 19:43
Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 22-10-2015 - 21:28
Giá trị nhỏ nhất mà bạn
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}$
Có lẽ bài này không thể tìm được GTNN.
Gửi bởi shinichikudo201 trong 22-10-2015 - 20:46
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.
(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)
Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ 5-x=b& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5;a;b\geq 0 & \\ P=a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}& \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P^2= (\sqrt{a}.\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(a+1)})^{2}\leq (a+b)[a(b+1)+b(a+1)]= 5(2ab+5)$
ngoài ra với $2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2= \frac{25}{2}$ ta suy ra được $max P=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ đạt được tại $a=b=\frac{5}{2}$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 08-10-2015 - 21:34
1/Chứng minh $-\sqrt{a^2+b^2}\leq a\sin (t)+b\cos (t)\leq \sqrt{a^2+b^2}$ với $\forall t;a;b\in \mathbb{R}$
2/Tìm min; max của $2a^2-3ab+4b^2$ với $\forall a;b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 12-08-2015 - 20:55
1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:
$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$
(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát)
2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:
$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$
3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.
Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$
4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:
$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.
5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?
6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$
(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:
Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)
Gửi bởi shinichikudo201 trong 28-07-2015 - 15:25
Bạn chỉ ra thử mình đọc sai chỗ nào vậy
(Kiểu này có khi lại bị nhắc nhở vì spam mất).
Đề là $\frac{(5^p-2^q)(5^q-2^p)}{pq}$ chứ không phải là $\frac{(5^p-2^p)(5^q-2^q)}{pq}$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 28-07-2015 - 15:10
Đâu nhầm đâu, ra nghiệm $(p,q)=(3,3),(13,3), (3,13)$ mà.
Không mất tính tổng quát, giả sử $p\leqslant q$, nếu $p=q$ thì $p=q=3$
Nếu $p=3, q>3$ thì $13(5^q-2^q)\equiv 0\pmod{q}$, mà $5^q-2^q\equiv 3\pmod{q}$ nên $q=13$
Nếu $q>p>3$, do $5^p-2^p\equiv 3\pmod{p}$ nên $5^q-2^q\equiv 0\pmod{p}$
Do $p,q\ne 5$ nên $5^{p-1}-2^{p-1}\equiv 0\pmod{p}$ và $(q,p-1)=1$ nên tồn tại $m,n>0$ sao cho $|mq-(p-1)n|=1$
Do đó $5^{n(p-1)}2^{mq}\equiv 2^{n(p-1)}5^{mq}\pmod{p}$ hay $5\equiv 2\pmod{p}$ hay $p=3$ vô lý.
Sai ngay từ khâu đọc đề
Gửi bởi shinichikudo201 trong 09-07-2015 - 18:52
Cho tập $X$ có $n$ phần tử phân biệt, hai tập $A_{1}; A_{2}$ là hai tập con bất kì của $X$. Ta tính số phần tử của $A_{1}\cap A_{2}$, chứng minh tổng tất cả các số nhận được bằng $n.4^{n-1}$
P/s: Bạn nào có tài liệu gì hay về dạng này cho mình tham khảo nhé. Thanks.
Gửi bởi shinichikudo201 trong 08-06-2015 - 17:28
1, Chứng minh không thể có $x; y; z >0$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=25 & \\ y^2+yz+z^2=49 & \\ z^2+xz+x^2=121 & \end{matrix}\right.$
Giả sử tồn tại x; y; z thỏa mãn bài toán.
$x^2< 25\Rightarrow x< 5; z^2< 49\Rightarrow z< 7.\Rightarrow x^2+xz+z^2< 107< 121$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 05-06-2015 - 22:29
CMR $a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\geq 2$
thank
$VT= (a+b)^2+\frac{(ab+1)^2}{(a+b)^2}-2ab\geq 2(ab+1)-2ab=2$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 04-06-2015 - 10:37
Cho $a \ge -1 , b \ge -1 $. Chứng minh $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \le 4$
xem lại đề đi bạn ví dụ như thêm $a+b=2$ chăng ??
Giải bài toán với $a+b=6$.
Theo $C-S$ ta có:
$VT^2\leq 2(a+b+2)=16$
Gửi bởi shinichikudo201 trong 01-06-2015 - 20:10
$a+b+c=3abc\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=> $(abc)^{3}\geqslant abc => abc\leqslant 1$=> a+b+c \leqslant 3$
$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geqslant \frac{3}{abc}\geqslant \frac{3}{1}=3$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Gửi bởi shinichikudo201 trong 27-05-2015 - 21:25
Gửi bởi shinichikudo201 trong 25-05-2015 - 21:20
1,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ 0\leq x;y;z\leq 2 & \end{matrix}\right.$
Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
Đặt $x=a+1; y= b+1; z=c+1$
$\Rightarrow a+b+c=0; a; b; c\epsilon [-1; 1]$
Khi đó $A=a^2+b^2+c^2+3$
Mà $a+b+c=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2= -2(ab+bc+ac)$
Mặt khác $\prod (1-a)(1+b)\geq 0\Rightarrow -(ab+bc+ca)\geq 1$
Vậy $A\geq 2.1+3=5$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học