hoangmanhquan

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}x^3+x^2y+x-8y=0  \\ x^4y^2-4y^2+x^2=0\end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}=\frac{sin B+sinC}{sinA}$

Chứng minh rằng: $cosB+cosC=1$

$\left ( \frac{x}{x+1} \right )^2+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^2=90$

ĐKXĐ: $x\neq \pm 1$

Đặt:$ \frac{x}{x+1}=a$

      $\frac{x}{x-1}=b$

$=>\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=90\\ a+b=2ab \end{matrix}\right.$

Từ đây tìm được $a, b$

Cho 2015 số thực dương a_1,a₂,.......,a₂₀₁₅ thỏa mãn

$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89$

Chứng minh rắng trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử 2015 số thực đã cho không tồn tại 2 số bằng nhau.

Giả sử: $ a_{1} < a_{2}<a_{3}<......<a_{2015}$

$=>$     $a_{1}\geq 1 ; a_{2}\geq 2 ; a_{3} \geq 3;....; a_{2015} \geq 2015$

$=>$     $ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{3}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{2015}{\sqrt{a_{2015}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2015}}$ (1)

Lại chứng minh được bất đẳng thức sau:

$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2015}} <2\sqrt{2015}-1<89$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{3}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{2015}{\sqrt{a_{2015}}}<89$

---> Trái với giả thiết.

=> Điều giả sử là sai.

Vậy trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

Tìm hai đa thức $f(x);g(x)$ có hệ số nguyên thoả mãn

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\sqrt{2}$

Đặt $a=\sqrt{2}+\sqrt{7}$

Tìm đa thức $f(x)$ và $g(x)$ sao cho $f(a)-\sqrt{2}g(a)=0$

Tức là, a là nghiệm của phương trình: $f(x)-\sqrt{2}g(x)=0$

Xét tích: $(x-\sqrt{7}-\sqrt{2})(x-\sqrt{7}+\sqrt{2})=x^2-2\sqrt{7}x+5$

=> a là nghiệm của PT: $x^2-2\sqrt{7}x+5=0$

$=>a^2-2\sqrt{7}a+5=0$

$=> \frac{a^2+5}{2a}=\sqrt{7}$

Mặt khác: $\sqrt{2}=a-\sqrt{7}=a-\frac{a^2+5}{2a}=\frac{a^2-5}{2a}$

Từ đó chọn: $f(x)=x^2-5$

                      $g(x)=2x$

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh

$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt  

Chỗ đó chỉ là BĐT thường dùng thôi em!

$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=65$ .

Chứng minh rằng:  $x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha \leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$ với mọi $\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta có:

$(x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha )^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1+2sin^2\alpha +sin^22\alpha )$

$=65.(1+2sin^2\alpha +4sin^2\alpha cos^2\alpha )$

$=65.[1+2sin^2\alpha (1+2cos^2\alpha )]$

$\leq 65.[1+\frac{(2sin^2\alpha +2cos^2\alpha +1)^2}{4}]=\frac{845}{4}$

$=>($x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha\leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$

Dấu "=" xảy ra $<=>$

$\left\{\begin{matrix} \alpha =\frac{\pi }{3}\\ x=2\sqrt{5} \\ y=\sqrt{30} \\ z=\sqrt{15} \end{matrix}\right.$

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^2+2-3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2y-y^2}=0\\ y^3-x^3+2+3x-3y^2=0 \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x+y+z=2015$.

Chứng minh rằng:

$\sum \frac{2015x-x^2}{yz}+6\geq 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{\frac{2015-x}{x}}$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AB=c$; $BC=a$, $CA=b$. $M$ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ xuống $BC, CA, AB$.

Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{x}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

Cho các số thực dương $a, b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$ A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}$

Làm thử

    Ta có $2\sqrt{2x-1}\geq 2x$

=>ta được bpt

             $3x^{2}-10x+2\geq 0$

Dùng $\Delta$

  Tự tính nốt nha ,làm biếng quá

Bài làm sai chỗ In đậm màu đỏ

Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} x,y,z\in (0;\sqrt{6})\\ x+y+z=3\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN:

$A=\sum \frac{1}{\sqrt{6-x^2}}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y^2+2y\sqrt{x}-xy^2=0\\ \sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1\end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$\frac{11}{x^2}-\frac{25}{(x+5)^2}=1$