pdtienArsFC

Mình tính cho bạn xem:
Từ $f(x+1)=f(x)+1$. Mình quy nạp được $f(x+n)=f(x)+n, \forall n \in \mathbb{Z}$.
Với mọi $p, q \in \mathbb{Z}$, ta có:
$$f\left(\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)^3\right)=f\left(\dfrac{p^3}{q^3}+3p^2+3pq^3+q^6\right)=f^3\left(\dfrac{p}{q}\right)+3p^2+3pq^3+q^6$$
Mặt khác:
$$f\left(\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)^3\right)=\left[f\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)\right]^3=\left[f\left(\dfrac{p}{q}\right)+q^2\right]^3=f^3\left(\dfrac{p}{q}\right)+3f^2\left(\dfrac{p}{q}\right)q^2+3f\left(\dfrac{p}{q}\right)q^4+q^6$$
Trừ vế theo vế, mình được đẳng thức đã nêu

Cái này thì tôi biết mà

Mình nói sau khi còn trường hợp 2 đấy, cái chỗ mình tô đỏ ấy.

Thay vào đó bạn có thể tính 1 lần nữa nhưng thay bởi dấu "-" và dùng 2 đẳng thức là được

Câu 2: Đầu tiên ta tính $f(-1)$, $f(0)$ và $f(1)$ bằng cách thay lần lượt $x$ bởi $-1$, $0$, $1$ vào giả thiết (2) được $f(-1), f(0), f(1) \in \left\{-1; 0; 1\right\}$.
Nếu $f(-1)=0$, suy ra $f(0)=1$, suy ra $f(1)=2$, vô lý.
Nếu $f(-1)=1$, suy ra $f(0)=2$, vô lý.
Vậy $f(-1)=-1$, suy ra $f(0)=0$ và $f(1)=1$.
Bằng quy nạp chứng minh được $f(n)=n, \forall n \in \mathbb{Z}$.
Bây giờ mình sẽ tính $f\left(\dfrac{p}{q}\right)$ với $p, q \in \mathbb{Z}$.
Ta tính $f\left(\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)^3\right)$ bằng hai cách để suy ra đẳng thức sau:
$$\left(f\left(\dfrac{p}{q}\right)-\dfrac{p}{q}\right)\left(f\left(\dfrac{p}{q}\right)+\dfrac{p}{q}+q^2\right)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{lcl} f\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p}{q} \\ f\left(\dfrac{p}{q}\right)=-\dfrac{p}{q}-q^2\end{array}\right.$$
Giả sử tồn tại $p, q \in \mathbb{Z}$ sao cho $f\left(\dfrac{p}{q}\right)=-\dfrac{p}{q}-q^2$, từ điều kiện 1 dễ suy ra điều vô lý.
Vậy $f\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p}{q}$ hay $f(q)=q, \forall q \in \mathbb{Q}$.
Thử lại thỏa.

Câu nói mang tính ngộ nhận quá bạn ơi Nếu có thể bạn giải thích rõ hơn nhé.

Thay vào đó, bạn có thể tính $f\left(\left(\dfrac{p}{q}-q^2\right)^3\right)$ bằng 2 cách, kết hợp với cái bạn có thì ta được đpcm nhé

Bài 2: 

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(1)$

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

+)Nếu $f(0)=0$:

Thay $x=-y=1$ suy ra $3f(-1)=f(1)f(-1)$

Nếu $f(-1)=0$ thì thay $y=-1$ suy ra $f(x-1)=f(-x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $(2)$

Thay $y$ bởi $-y$ và áp dụng $(2)\implies f(x-y)+f(x)f(y-1)=f(xy-1)+(1-y)f(x)+(x+1)f(y-1)$

Khi đó thay $y=2$ và $x=1$ ta được $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$

Nếu $f(1)=0$ thì ta suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=2$ thì thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x+1)=f(x)+2(x+1)$

Quy nạp ta được $f(x)=x^2+x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(-1)\neq 0$ thì $f(1)=3$. Khi đó thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x)=3x$ 

+)Nếu $f(0)=2$ thì thay $y=0$ ta được $f(x)=x+2$

Thử lại thấy hàm $f(x)=3x$, $f(x)=0$ và $f(x)=x^2+x$ thỏa mãn $\blacksquare$

Nói rõ quy nạp đi bạn, trên N rồi sao nữa. Không phải soi mói nhưng đăng lời giải thì rõ ràng nha!!

Thay vì làm như vậy em có thể thay $y$ bởi $y+1$ ở (1)

Thế tiếp vào (1) khử đi $f(x).f(y)$ rồi thay $y$ bởi $\frac{1}{x}$, sẽ tìm được nghiệm $f(x)=x^2+x$

Bài 2: 

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(1)$

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

+)Nếu $f(0)=0$:

Thay $x=-y=1$ suy ra $3f(-1)=f(1)f(-1)$

Nếu $f(-1)=0$ thì thay $y=-1$ suy ra $f(x-1)=f(-x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $(2)$

Thay $y$ bởi $-y$ và áp dụng $(2)\implies f(x-y)+f(x)f(y-1)=f(xy-1)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y-1)$

Khi đó thay $y=1$ ta được $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(-1)\neq 0$ thì $f(1)=3$. Khi đó thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x)=3x$ 

+)Nếu $f(0)=2$ thì thay $y=0$ ta được $f(x)=x+2$

Thử lại thấy hàm $f(x)=3x$ và $f(x)=0$ thỏa mãn $\blacksquare$

Xem lại lời giải bạn, lời giải bài toán còn có nghiệm: $f(x)=x^2+x$ nữa nhé!!

Chữ đỏ nhầm nhé, thay y bởi -y nên đó thành $(1-y)f(x)$ và nếu cứ thay $y=1$ như em thì không rút ra được điều gì nhé!

Câu dãy ngày 1

Cho $k$ là 1 số nguyên dương và dãy số $u_n$ được xác định bởi: 

$u_1=3; u_{n+1}= u_n+4n+2 $ 

Có gì đó sai sai vì $k$ để làm gì

k cố định bạn à, ra để lừa mấy đứa dùng Stolz thôi