lovemathforever99

 

 

Câu $2$: $(2$ điểm $)$:

Cho các số thực $a,b,c$ với $a \neq 0$ sao cho : phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$$

 

$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}=\frac{\frac{(a-b)(2a-b)}{a^{2}}}{\frac{a(a-b+c)}{a^{2}}}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{b}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$

 

Gọi $x_{1},x_{2}$ là 2 no PT.

 

Theo Viet: $P=\frac{(1+x_{1}+x_{2})(2+x_{1}+x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}+2(1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=2+\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}$

 

Theo đk: $(1-x_{1})(1-x_{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+1\geq x_{1}+x_{2}\geq x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}\leq 1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$

$\Rightarrow P\leq 3$

 

Dấu = khi 2 nghiệm cùng =1 hoặc 1 nghiệm =0, nghiệm còn lại =1

Cho PT $x^{2}+\frac{1}{2}x-1=0$, $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của PT. Đặt $S_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$.

 

a. Chứng minh $S_{n+2}=S_{n}-\frac{1}{2}S_{n+1}$

 

b. Chứng minh $|S_{n}|\leq (\frac{3}{2})^{n}$

 

 

P.s: giúp mình câu b   

Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho: 

 

$1^{n}+2^{n}+...+(n-1)^{n}$ chia hết cho $n$

 

Bài tập $2$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ chứng minh :

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$

 

Bài tập $5$ : Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :

$\sum \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \sqrt[3]{4}(a+b+c)$

 

Bài tập $6$ : Với $a,b,c> 0,\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=3$ . Chứng minh rằng :

$P=2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})\leq 18$

 

Tiếp tục chuyên đề nào 

 

Bài 2  Ta có : $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\frac{a(a-b)^{2}}{(a+b)}\Leftrightarrow b(a-b)^{2}\geq 0$(đúng)

 

Thiết lập tương tự $b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\frac{b(b-c)^{2}}{(b+c)}$

                         $c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\frac{c(c-a)^{2}}{(c+a)}$

 

Cộng các bđt ta có đpcm.

 

Bài 5     Ta có : $\sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq\frac{a+b}{\sqrt[3]{2}}$

                  $4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}+a(a-b)^{2}\Leftrightarrow (a-b)^{2}(\frac{2}{3}a+b)\geq 0$(đúng)

1 cách tương tự : $\sqrt[3]{2(b^{3}+c^{3})-b(b-c)^{2}}\geq\frac{b+c}{\sqrt[3]{2}}$

                       $ \sqrt[3]{2(c^{3}+a^{3})-c(c-a)^{2}}\geq\frac{c+a}{\sqrt[3]{2}}$

 

Cộng các bđt có đpcm

 

Bài 6     AM-GM:  $P\leq 2(\sum \frac{1}{2\sqrt{ab}})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})=6.\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\leq 2(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}=2.3^{2}=18$

 

 

Bài 3 không biết có sai không, mình thử 1 số cặp thấy ko thỏa mãn.

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy$.Tìm GTLN $P=xy+yz+zx$

 

 

Trong quá trình làm mình thấy có 2 lời giải # đáp số. Phiền các bạn kiểm tra giúp mình cái nào đúng và tại sao cái kia lại sai 

 

Lời giải 1: 

 

Tách $1=\alpha +(1-\alpha )$

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy=1$

$\Leftrightarrow \alpha (x^{2}+y^{2})+ (1-\alpha )x^{2}+\frac{z^{2}}{2}+(1-\alpha )y^{2}+\frac{z^{2}}{2}+\frac{9}{16}xy=1$

 

$VT\geq (2\alpha+\frac{9}{16}) .xy+\sqrt{2(1-\alpha )}yz+\sqrt{2(1-\alpha )}xz$

 

Cần tìm $\alpha$ để các hệ số $xy,yz,zx$ = nhau.

$\Rightarrow 2\alpha +\frac{9}{16}=\sqrt{2(1-\alpha )}\Rightarrow \alpha =\frac{12\sqrt{5}-17}{32}$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{6\alpha }=\frac{16(12\sqrt{5}+17)}{1293}$

 

Lời giải 2:

 

Giả sử dấu = Xảy ra tại $x=y=a,z=b$.

 

$\left\{\begin{matrix} k(x^{2}+y^{2})\geq 2k.xy & & \\ b^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}\geq 2ab.yz& & \\b^{2}x^{2}+a^{2}z^{2}\geq 2ab.xz& &\\t.xy=t.xy\end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow xy(2k+t)+2ab.yz+2ab.zx\leq (k+b^{2})(x^{2}+y^{2})+2a^{2}.z^{2}+t.xy$

 

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2k+t=2ab & & \\ k +b^{2}=2a^{2}=16/9.t& & \\ 41a^{2}+16b^{2}=16 \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ trên ta tìm đc $2b^{2}+2ab-\frac{41}{8}a^{2}=0\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{3\sqrt{5}-2}{4}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{8}{45-6\sqrt{5}}}...$

 

2) Giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2^{x}-2^{y} & =(y-x)(xy+2)\\ x^{2}+y^{2} & =2 \end{matrix}\right.$

$PT 1 \Leftrightarrow 2^{x}-2^{y}+(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=0\Leftrightarrow 2^{x}-2^{y}+x^{3}-y^{3}=0$

 

Nếu $x> y\Rightarrow 2^{x}+x^{3}> 2^{y}+y^{3}$$\Rightarrow$PT vô ngo.

Tương tự với $x< y$

 

$\Rightarrow x=y=1$

Cho phương trình $6x^2-69x+9=0$

Biết $S_{n}=x_1^n+x_2^n$

Chứng minh rằng $B=-6.S_{69}-9.S_{67}+69.S_{68} \vdots 69$

   

Từ PT $\Rightarrow 6x_{1}^{69}-69x_{1}^{68}+9x_{1}^{67}=0$

                              $6x_{2}^{69}-69x_{2}^{68}+9x_{2}^{67}=0$

 

Cộng 2 vế 2 pt thu được $6(x_{1}^{69}+x_{2}^{69})-69(x_{1}^{68}+x_{2}^{68})+9(x_{1}^{67}+x_{1}^{67})=0$

$\Rightarrow 6.S_{69}-69.S_{68}+9.S_{67}=0\Rightarrow B=0\vdots 69$

 

 

Đúng không nhỉ? nhưng mà số đẹp thật 

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$.

 

Tìm GTNN  $S=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ là số hữu tỉ.

 

 

_________________

Trích đề thi TS vào 10 chuyên toán PTNK TP.HCM

Chứng minh rằng trong các số có dạng $A=\sqrt[n]{n}$. Khi $n=3$ thì $A$ là số lớn nhất.

$1)$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng 

$$2ab+2bc+2ca+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \geq 9$$

Ta có $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

 

$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3abc(a+b+c)}+\frac{a+b+c}{abc}=6\sqrt{abc}+\frac{3}{abc}\geq 3(\sqrt{abc}+\sqrt{abc}+\frac{1}{abc})\geq 9$

    

Câu 5. (1 điểm)

Cho hai số thực a, b thay đổi, TMĐK $a+b\geq 1$ và $a>0$. Tìm min $Q=2a+b^{2}+\frac{b}{4a}$

Thay $b\geq 1-a$ vào Q

 

$Q=2a+\frac{1-a}{4a}+(1-a)^{2}=a^{2}+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4}=a^{2}+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8a}+\frac{3}{4}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

 

Dấu = khi $a=b=\frac{1}{2}$

Ta có : (1) $\Leftrightarrow \left ( x^{3}-y^{3} \right )+3\left ( x-y \right )= 3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2$

$\Rightarrow \left ( x-1 \right )^{3}= \left ( y+1 \right )^{3}$

$\Rightarrow x-1=y+1$ $\Rightarrow$ ......

Đến đây được $x=y+2$. Thế vào PT 2 ta được 

$x^{2}+8=4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}$ 

 

Mấu chốt là giải Pt này. Bạn giải thế nào?

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}=\frac{697}{81}\\ x^{2}+y^{2}+xy-3x-4y+4=0 \end{matrix}\right.$

Xét $\Delta$ PT 2 ta được $0\leq x\leq \frac{4}{3}, 1\leq y\leq \frac{7}{3}$

 

$\Rightarrow x^{4}+y^{2}\leq (\frac{4}{3})^{4}+(\frac{7}{3})^{2}=\frac{697}{81}$

 

Suy ra nghiệm $(\frac{4}{3};\frac{7}{3})$

Cho 3 số $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.

 

Tìm GTLN của $P=(a+b+c+3)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$