Câu $2$: $(2$ điểm $)$:
Cho các số thực $a,b,c$ với $a \neq 0$ sao cho : phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$$
$P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}=\frac{\frac{(a-b)(2a-b)}{a^{2}}}{\frac{a(a-b+c)}{a^{2}}}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{b}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$
Gọi $x_{1},x_{2}$ là 2 no PT.
Theo Viet: $P=\frac{(1+x_{1}+x_{2})(2+x_{1}+x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}+2(1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=2+\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}$
Theo đk: $(1-x_{1})(1-x_{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+1\geq x_{1}+x_{2}\geq x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}\leq 1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$
$\Rightarrow P\leq 3$
Dấu = khi 2 nghiệm cùng =1 hoặc 1 nghiệm =0, nghiệm còn lại =1
- Super Fields, ducbau007, chardhdmovies và 2 người khác yêu thích